VI PRÉFACE

peul pas indéfiniment se passer des considérations qui font l'objet de la branche dont nous parlons. Les singularités de toutes sortes, les discontinuités, par exemple, s'introduisent d'elles-mêmes, qu'on le veuille ou non, dans des questions d'où le chercheur aurait souhaité les écarter.

Cette assertion paraît d'ailleurs confirmée au point de vue historique. Paul du Bois-Rejmond déclare, dans la préface de son ouvrage philosophique sur la Théorie des jonctions, que c'est « le besoin de voir clair dans les intégrales des équations différentielles du second ordre » qui l'a conduit à faire une étude approfondie de la notion même de fonction. M. Georg Cantor paraît, lui aussi, avoir été amené à ses belles conceptions sur la théorie des ensembles en cherchant à étendre certains résultats relatifs aux séries trigonométriques.

Au point de vue des applications, il peut sembler prématuré de se demander si de telles considérations peuvent avoir quelque importance pratique. Cependant, il est bien permis de remarquer C[ue, dans l'interprétation mathématique des phénomènes naturels, on fait tour à tour, et en quelque sorte suivant les besoins de la cause, appel aux deux notions de continu et de discontinu. S'il est vrai par exemple qu'en Mécanique on suppose en général que les vitesses varient d'une manière continue, dans la théorie des chocs et des percussions, on raisonne comme si ces vitesses subissaient des variations brusques. Il ne s'agit que d'approximations, c'est entendu; mais on \oit que le discontinu, tout comme le continu, peut servir dans l'approximation. Certaines théories de Physique, de Chimie, de Minéralogie, ne sont pas sans présenter quelcjue analogie avec le discontinu mathématique. Dans tous les cas, en dépit du vieil adage heureusement démodé, rien ne permet d'affirmer que (( la nature ne fait pas de sauts ». Dans ces conditions, le devoir du mathématicien n'est-il pas de commencer par étudier, in abstracto, les rapports de ces deux notions, continu et disconlinu, (jui, tout en s'opposanl l'une à l'autre, sont intimement liées