I. — Exemples simples

1. Un des exemples les plus classiques de fonctions discontinues développables en séries de fonctions continues est fourni par certaines séries trigonométriques. Prenons comme point de départ l'égalité suivante :

dont on établit, dans la théorie des fonctions analytiques, la validité sous la condition que Ion ait : ' - j ^ i avec z-y^ — i . Dans ces conditions, le premier membre représente la détermination du logarithme qui. partant de la valeur o, pour :: = o, varie d'une façon continue, quand le point figuratif de ; se déplace d'une manière continue à 1 intérieur du cercle de convergence, et même sur ce cercle en é\itant le point z^ — i .

Posons

en supposant x réel et compris entre — - et -}-— (ces deux valeurs R. B. 1

étant exclues). On peut écrire

z = cosa? -+- l'sina:.

On a donc

z"- = co?,nx H- isinna^.

Le point figuratif de z prend toutes les positions possibles sur le cercle de convergence, sauf la position ;3 = — i . On a

iog(j+z)=2^(-i)«+i

D'autre part, on peut écrire