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SURFACES ISOTHERMES SIMULTA.\ÉES. '

Les propriétés mutuelles des trois l'ainilles de surfaces , que définissent les fonctions inverses (A,, B,, C,), démontrent en quelque sorte la nécessité de maintenir séparément ces neuf fonctions , malgré les relations qui permettraient de les exprimer à l’aide de trois d’entre elles. En outre, ce sont ces propriétés mêmes qui ont introduit les transcendantes et les fonctions elliptiques dans les diverses brandies des mathématiques appliquées. Et, à ce double point de vue, leur étude est indispensable.

Considérons donc simultanément les trois familles de surfaces du second ordre, homofocales et isothermes, que * représentent les équations

cl désignons, par « la variable des fonctions inverses >

lo6 'LEÇOKS

(A, B, C) des liypcrbolüïdes à deux nappes, par (i celle des fonctions inverses (A,, B,, C,) des hyperboloïdes à une' nappe, par y o,elle des fonctions inverses (A,, B,, Cj) des ellipsoïdes.

Les relations qui existent entre les neuf fonctions sont

I Aî-A; = B;-B’ = q + c;(=D=), f a; — A’ = B’-hB= =c; + e (=d;),

la seconde case se déduisant de la première.

Les foyers constants de toutes les sections principales des surfaces (i) sont six ]>oinls situés de part et d’autre du centre, quatre sur l’axe des x, ^ et i§' à la distance b — cb,

F et F^ à la distance c: et deux sur l’axe des y, f et F à la distance = cA ; d’où résulte A* -h A^ ’ == i •

§ LXXXl. ,

(’.OOKDONNLES nouvelles.

Chaque point de l’espace est l’intersection de trois surfaces (i) : d’un byperboloïde h deux nappes au paramètre a, d’nn hypcrboloïde à une nappe au paramètre (3, d’un elKp~ solde au paramètre y. Les trois paramètres ibcrmométriques («, /3, y) forment ainsi un système de coordonnées. Pour passer des coordonnées rectilignes (x, y, z) k ce nouveau,'

données par le tableau

SLR LES FüWCTJOISS I^VERSES, ETC. lO^

système, on a les formules de transformation

, s ' ( Xj; = fAAiAj,

(3) I X/'.> = cU B, B,,

( X'z = cC C, Cj ;

que l’on déduit, à l’aide de l’élimination, des équations (i) Leur vérification est facile, car, en faisant usage des rela-' lions (2), et rappelant que f,'- = i — A’, ces formules transforment respectivement les premiers membres des équations (1) de la manière suivante :

jfjrr, [ A’ - (A; - X’j (A’-X’)-X’ ( . -X]) (XI- . ) ]= t-.j ' a; A’ 4 - (A' - k‘) (X>-A’)-/» (A^- .) (1 - A=)] =

-H ''■’(! - A’)(i-AÎ)j= c>;

c’est-à-dire qu’elles reproduisent les équations (i). Elles donnent en outre, et plus facilement encore.

a; Ai

b;bj

BAJ!

efei “ {' — A’)]=o.

équations qui représentent les cônes conlcnaut les courbes d’intersection des surfaces (i) , et qui prouvent que ces suri faces se coupr nt à angle droit. En ellet , (x','y, z') étant' les coordonnées courantes, les plans tangents à ces sur-

lo8 LEÇOMS

faces, au point considéré (x, z), ont pour écjnations

jcjc' y y' zz'

xx' yy' zz'

Ây^By-cy

.tj:' r Y* zz'

i- '-Il -l —

et les expressions des cosinus des angles que ces plans font entre eux, ont respectivement pour facteurs les prcmiei^ inenibres des équations (4) ? lesquels sont nuis. Les surfaces (i) sont donc ortliogonales; et, d’après le beau théorennî de M. Charles Dupin, deux des familles des surlaccs (i) tracent, sur une surface de la troisième famille, toutes ses lignes de courbure.