XCIX

INDÉTEUMINATION LOUSQUE /( = i.

Lors(jue les deux constantes b et c sont égales, ou que k ~i et Ar'= o, le paramètre géométrique ( 2 , (|ui doit toujours être compris entre i et c , est aussi égal à h ou à c ;

— b* et V^c* — fi’ sont donc nuis, alors la fonction A, est égale à l’unité, et les fonctions B, et C, s’évanouissent; la famille d’hyperboloïdes à une nappe au paramètre |3 semble anéantie; et les formules (6) sont encore indéterminées. On fera disparaître cette indétermination en introduisant la fonction inverse intermédiaire tj/ qui , k' étant quelconque, sert à vérifier la relation BJ-t-C,=A'*, en

B, . , C, posant P = siny, j;

cosi^.

TRANSFOR.MATION DES (A,, B,, C,) EN Par cette introduction, on aura

y^ii’ — b’= — è’.sinij),

— fi'* = \/c’ — é’.cosij', fl = c . I — X cos’ ,

l'ào

ce cjuî donne <1 abord

leçons

b' )/c’ — pi’ 1 — f'os’ ’l'

cl ensuite, par intégralion ,

^ Jo \''l — cos' A ‘‘'i'

" “ Jo v'> — <■'’

Jo \/t — X’cos’-|<'

La première intégrale transcendante détermine la fonction inverse tpie nous désignerons par les dctix autres intégrales, lesquelles sont rZfyîmei, donnent encore d’autres expressions des nombres et et et . Les fonctions piitnitives (A,, IL, C,) sont liées à ij; = t)î.|B par les formules

(,^) A,= Vi— ^ = sint)l,p, p = cosift,p.

L’équation de la seconde famille de surfaces (6) et les formules de transformation peuvent donc se mettre sous la forme

sin’ilt,p cos' 11!, fl V I—/" cos' 11!, P/

Xx = c.A,A. V’i — ‘^'’cos'il!,?,

/!r = c.B,B.sin M!,p,

Z = c . C, C . cos tli, P ,

plus compliquée que la forme primitive, tant que A n’est

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Sun LES FOSCÏIlINS lîVVF.IlSES, ETC. l 3 l

pas l’unité, f)u que A' n’est pas zéro, mais qui, à cette limite, fait disparaître toute indétermination.