SYSTÈME SPHÉRIQUE PARTICULIER

Lorsque la question que l’on traite n’exige pas que le système sphérique orthogonal (a5) soit rapporté à ses paramètres thermométriques, on peut prendre pour coordonnées le rayon p, et les deux fonctions inverses 6 et i|/, introduites a\ix §§ 96 et 100, et, à l’aide des valeurs (p) et ( 17 ), on a

I x= p . sin 0 . cos’

(26) j r = p.ros0.siii

— X’siiP9.coS')i,

SL’H LES FONCTIONS INVERSES, ETC. l35

]e rapporl A restant ilisponible, et pouvant être choisi de manière à faciliter la solution que l’on cherche.

Quand on prend A = i, d’où A'= o, on a

/ X = P sin 6 ,

( 27 ) ' P cos 0 sin \j;,

( 2 = P fosO COS\J/.

(l’est le système habituel des coordonnées sphériques, dans lequel la longitude est seule un paramètre thermométrique. Les sphères concentriques et les cônes de latitude forment bien deux familles de surfaces isothermes, mais p et 6 ne sont pas leurs pai-ainèlres thermométriques.

Los diverses propositions établies dans cette leçon donnent Heu h deux observations importantes. H résulte des

§§ 97 et 101, que les rapports 7 d j quand A = o, yj

et - c

juand A'=o, deviennent sin e et cose; mais ces

vraies valeurs de fractions qui se présentent sous la forme ^

ne sont ni A, ni B, ni B,, ni C,. D'ailleurs, si l’on fait subir à la fonction F = sin e, ou F = cos e, l’épreuve du caractère général, défini par la septième leçon, on trouve que le premier membre de l’équation (i5), au § 72, se réduit à

g ^ * j - p - ; le coeflicient g étant cp i dans le premier cas,

-I- I dans le second. Or il est impossible de ramener la

fraction - 1 — > - - à la forme sin [G — (a±j3)l, ou sm(a±fj) L

cos [G — (« ± j3)J, avec une constante finie G, soit réelle,

soit imaginaire. Ainsi les fonctions sinE et cos E n'appar-

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tiennent pas à la classe des (A,, B, , C,) ; elles n’en ont pas le caractère essentiel ; elles n’en sont pas des variétés.

Le système ellipsoïdal (6) et le système sphérique (25) se confondent, se superposent, sont en quelque sorte tangents à l'infini; c’est-à-dire pour les valeurs du paramètre thermoiuétrique y voisines de ses limites ± ci, et pour les très-grandes valeurs du rayon p. Autrement : tous les hyperLoloïdes (6) ont leurs cônes asymptotes (aS), et la famille des ellipsoïdes s’approche asymptotiquement de la sphère d’un rayon infini. Ce dernier genre d’asymptotisme diffère du premier, en ce ([ue les familles de cônes (a5) changent, comme celles des hypcrholoïdes (6), d’un système à un autre, ou avec la valeur du rapport k, taudis que la sphère asymptote des ellipsoïdes reste la même. Cette propriété que possède la sphère, d’appartenir en quelque sorte à tous les .systèmes ellipsoïdaux, est d’un grand secours dans les applications, comme guide et comme moyen de décott-vertes.

Sin LES FONCTIONS INVERSES, ETC.