DIXIÈME LEÇON
Pr\»I)lômo tlo In ti'ansrormntion des transcendantes et des fonctions ellip<~ tiques. — Solution (;ênêrale découverte par Jacobi. — Vérification de cette solution. — Nouveau module. — Formules des nouvelles fonctions inverses.
^ CVl.
l'KOüLÈME DK LA THANSFOIIM ATION.
Le système des fouctioiis inverses, directes et conjuguées,
qui dépendent d’une valeur déterminée et fixe du rapport />,
est maintenant défini aussi coinplétemcnt que possible.
Mais si l’on considère l’ensemble des systèmes coordonnés
correspondants à toutes les valcui'S de k comprises entre zéro et l’unité, ou doit se demauder s’il n’existe pas entre eux des liaisons (jui puissent permettre de passer d’uii de ces systèmes à un autre. La solution générale du problème de la transformation des transceudanles et des fonctions elliptiques, découverte par Jaeobi , répond directement à la ([uestion , et il importe de la développer ici.
Nous conserverons la notation des (A,, B, , C.) , tant pour éviter la traduction nouvelle d’un grand nombre de formules établies précédemment, que pour iiilcrpréler plus facilement Jes résultats obtenus, au point de vue des apjilieations à la géométrie et à la jihysique mathématique. Toutefois rien n’cmpèebe de donner au rapport k =z- le nom consacré de module.
La formule ^ = lUl , joiiile aux relations qui existent
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entre les trois fonctions (A, B, C), donne le paramètre thermométrique s sous la forme
ilA
nous écrirons la fonction inverse A de celte manière A (e; A), ([uand il sera nécessaire de la distinguer d’une foneliou semblable ayant un autre module \ pour le moment , appelons X la variable de l’intégrale (i).
Le problème de la transformation des transcendantes elliptiques consiste à trouver une fonction rationnelle y de X, qui satisfasse à ré<{ualion
M et l étant des constantes qu’il faut assigner en même temps ([ue la fonctio’n. Le premier membre étant e, ou aura
x = A{t\k) et /=.A /^ ;
c’est-à-dire que la solution trouvée donnera la fonction inverse A de pour le module /, à l’aide de la fonction in- M
verse A de e pour le module A. On aura donc une formule de transformation entre fonctions inverses appartenant à des modules ou à des systèmes différents. On conçoit que le problème dont il s’agit doit avoir un nombre infini de solutions; leur recherche est facilitée par le théprème suivant :
