CXIX

‘müLTIPLICITÉ DES VALEURS DE A(/).

I.es facteurs qui composent les constantes m (i6) et^(i8); ainsi que les coefücients et les dénominateurs qui entrent dans les produits Tl du groupe (i 5 ), (17), (19) delà traiis- , formation, sont tous de la forme A’ (^i), <7 étant un nombre entier. Or, eu se servant de la formule d’Euler ( 5 ) et des relations (6), il sera toujours possible d’exprimer algébriquement tous les A (^/), à l’aide de A (f) seulement; si donc ce dernier nombre admet plusieurs valeurs différentes, à chacune d’elles correspondra une transformation spéciale et distincte. Cette multiplicité existe etlcctivcnient.- Le paramètre i est déterminé par réquation

et quand cette équation est satisfaite, la propriété dont jouit l’équation (12), de ne pas changer ijiiaiid e augmente de 4 et d’où découle toute la vérification, est essentiellement conservée. Il s'agit de résoudre l’équation (24) par rapport à la quantité t.

La fonction inverse A est égale à Ar, non-seulement quand £ est égal à or ovi K , mais aussi quand on ajoute à K des multiples des deux périodes, réelle et imaginaire, 4cr oU'^ 4K, 2tj' V — I ou 2RV — I [tableau (6), § 61 ]; on aura», donc .

a[(4i 4- <)K-i- îJK'v^- 7 ] = a(/«}=

I et J étant des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs; d’où ’ '

, . (4l4-i)K-|-2JK'v'~ • ;

Mais au nombre Infini^ des valeurs” de t, données par^ cette

liquation (a 5 ), ne correspondent qu\in nombre limité de valeurs de A (/), par suite de la double périodicité de la fonction inverse, et ce nombre ne 'Saurait surpasser p'.

§ cxx.

TRANSFORMATION PAR / RfiEL. ,

Si r.on fait I=r o, J = o, on a i = — , valeur réelle. Gon-

servant les lettres m et /, pour désigner le coefficient et .le nouveau module , dans les formules (i 5 ), (17) et (19)5 -s’appliquant à tous les A ({) possibles, nous désignerons par ju.

et h les valeurs que prennent m et l quand i’= —•> et les

formules delà transformation qui correspond à cette valeur réelle particulière seront les suivantes ;

-lüi^nr.-

.C(0nr.

- • ni— {p-ï>i )i 1

K(p — ■iii)i\'

u = n—)^ — h=:APn