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TRANSFÜRMATiQN PÀK i IMAGINAIRE;

Parmi les autres valeurs de /, il en est une qui, bien qu’imaginaire, conduit aux formules, pareillement réelles, d’une seconde transformation , dont les raj>port8 avec . la première sont l’objet principal de l’étude actuelle. Le nombre ;> = 4y± • donnaiil 4 (±7 ) + i = ±Pj *'u prend dans (aS)

I = ±;, 2 J=i — p; d’où / = ± K — K' — i -t ^ — i,

ou bien, en posant — = t :

Telle est la valeur de i qu’il .s’agit de substituer dans les formules générales.

Par cette valeur, ou aura

(A’, B', ou C’)(2«() = (A% B’, ou C'){2«t' — Q.nk')^ — 1,

puisque (A, B, ou C) (ert 2 /iK) ne peuvent diflérer de (A, B, ouC) (e) que par le signe. Si l’on rapproche les tableaux (5), § 60, et (i 3), § 53 , on établit facilement les relations

en les appliquant au cas actuel, et supprimant ( — un K') dans les carrés (A”, B'*, ou C’) ( 2 / 11 ' — anR'). il vient

SUR LES FOMCTIOHS INVERSES, ETC. iSj

définitivement, ({uand i a la valeur (27) :

C'( 2 «/) C'{%ni') B'’(2/2i')

la dernière forme résulte de l’équation (7) appliquée aux fonctions conjuguées.-

Désignons par X et g les valeurs de la constante m (16) et du module / (18) dans le’cas actuel’, les relations (29) donneront d’abord

nfi'(p-an), 1 Y '' V-c

~ kP-^ kP-' \C(2ni'j)

et ensuite

- * ^ étant lé nombre des -facteurs du produit H. Or il

faut supprimer ici le facteur .( — 1) ^ . En effet, la démonstration commencée au‘§ 109 suppose /• réel , alors le pre-

mier membre de l'équation posée (10) est bien i — j\ il

doit être 1 quand < est imaginaire; car, en vue de tous

• K‘s cas, il n’est pas necessaire d'assigner d’avance.le signe ,

...de ■?* au premier membre de l’équatidn (lo), pouf que l’on

puissedéduire la forme de réqualion, (i5).5et lorsque ensuite on veut déterminer m, constante qui doit être essentjelle-" ment .positive, d’après le rôlequ’elle doit jouer dans l’équa.-' • tion. ( 2’) , si P —.4 /'■ — 1 1, ou fait x = au second membre ' de (i 5 ), Jeqiud dévient '^lositif quand i est^ réel, négatif quand i est imaginaire/; ce qm apprend (ju’à ,r =; — k doit

l 58 LEÇOBS - '

correspondre y — I dans le premier cas, el y — l dan» le second.

D’après cela, si l’on qcbève de substituer les valeurs (29) dans les.équations (i 5 ), (17) et ^19), les formules de la seconde transformation seront

... ® = "(^'+/(‘>iT!|î:rf)J’- ■

/' étant — » et 0 le dénominateur commun. On remarquera

qu’ici les produits O ne peuvent s'annuler pour aucune valeur réelle de A (e), pas même ceux qui sont.aux nuniérjt-

leurs des ^ ^)’ ‘^™pcis

entre k Cl l’unité, el A entré zéro et . V