RELATIONS DES RAPPORTS

• Telle est la dillcnTicc caractéristique des deux transformations |r| et [pj. Si l’on aj^liquc les deux formules (3^)

1 6’6 • ■ ' • ' I.EÇONS ■ ‘ ■

et (38) aux deux Iransforinées, (3i) et y (35), ou a •

, K =/*/> Il 1 i. . H ^ .

K'=un'!’ .■ • •

Si Ton applique les deux Ibitnules (38) et (3j) aux' deux transformées (3 1 ) el>', (35) , oii a ' • . .

§ cxxvm. • -

KETOUR A k PAR [f] APRÈS [/•]. " ' ,

tl résulte de la comparaison de ees deux groupes ( 89 ) et ^ 40 ), qu<! si l’on change K en H , G se changera en K, ou bien que si l’on change k eu It , g se changera en k, c’està-dire (jue si , après avoir passé du module k au module h .par la transformation [/■], ou de x à y^, ou appliquera y,, la transformation [p], pour o{)tenir une nouvelle fonction z-, on repassera du module h au module k. . .

Voyons quelle sera la valeur du coefficient iii ou dans 'cette dernière transformation [p\- Il faut, pour obtenir cette valeur, que nous désignerons par A , changer, dans K

/. = — [valeur déduite du groupe (4®)] K en H, et G en K ;

<roù A = — • Mais, d’après le groupe (3o), on a- — = — , , K V ■ , . ^ P

donc

sua LES FONCTiOICS INVERSES, RTC.

' § CXXIX. ^ / /;-v

NOUVELLK SOLUTION DE LA SIULTIPLIOATION. ’

Ainsi la iransiormatioii [rj, appliquée à a', 'ayant résoluv l’équation . ,

Jo a:' v/r-^.r* ^ V/e' — — j

la transformalion | pj, aqipliquée à y, résout celle-ci :

' rfr I P ' . ,h " •- ■-

d’où l’on conclut, par l’éliiuinatioh de l’intégrale tralisreiidante en y , ; ' .

Jo Z' (/l — \'o VX’ —

c’est-à-dire que lit nouvelle fonction inverse 2 , d’aliord exprimée en j,. par des suhsiilutions correspondantes dans la formule yp (3i) [.savoir ; par les changements respcctils

rpy (A', B', ou C') de ( < 7 /" ; -^.X' ) , . .

en .2,.*X, y,, h,.^A', B', ou (T)’ de, '

faits dans celte, formule J i qmis exprimée en x,’ en substituant à fr valeur (3i), résoudra l’é({Uaiian (4a) j ou leproblème de la multiplication des transcéiidaiitcs . ellip- . tiques. . , ^ ■

•Celle nouvelle solution, obtenue par une dùiible trausforinalion, c’est-à-dire: par le passage du module A au

ttiü -J.EÇONS • ' ■ .

module A,' et le retour du module A au module A, se distingue essenliellement de la solution - trouvée par Abel,'

§ 65, sans changer de module, ou en restant dans le même système de fonctions inverses,

1,’identité nécessaire des deux valeurs de z ou A-(pe) , en ou A (ê), obtenue des deux manières, pourra conduire à des conséquences importantes sur la liaison qui existe entre les fonctions inverses de systèmes différentss Et ces "eon-

séquences seront exclusivement dues à la découverte de

■JaonKî y* • •