TRANSFORMATIONS PAR LES (A, B, Ç

Les solutions trouvées du problème de la .transformation des transcendantes* elliptiques s’appliquent non-seulement h la fonction inverse A, mais à tous les (A,, B;, Q) appartenant au même système ou au même module k. Il importe de constater cette généralisation , qui donne une nouvelle preuve de la simultanéité des neuf fonctions.

D’abord, les formules ( 26 ), § 120, de la transformation [rj, peuvent se niettre sous la forme .

c ( - ; a) = «C(s) ri

'fi /•-

A’ ( 2 ni )

en chassant les dénominateurs A, k, fjt., substituant leurs - valeurs, ramenant à l’unitéV dans les facteurs des pio-

1 7® LEÇOM9 . , . •

duits n, les coefficients de A’ (e) que l’on remplace ensuite par k* — B*(e) dans la seconde formule, par i — C’(e) dans la troisième.

Ainsi ecfites, ces formules reproduisent par elles-mêmes les valeurs de p, b, h! : p s’obtient en faisant, dans la troisième, e = O , d’où'C {e)'=; I , et C = I ; p étant

c onnu, on retrouve h en faisant, dans la seconde, e = o, d’où B(e) —k, et ® enfin on obtient h' en

faisant, encore dans la troisième, e li., d’où C (e) = A', C •, — h'. Ce qui donne

A’(a ni)

n c* (2/ji)

Pareillement, les formules (3o), § 121, de la transformation |p], peuvent se mettre sous la forme

P A'» (2m') VHlni')

WHini'

Ù{t) — M' {7. ni')