CXXXVII
' ''■ TRANSFORMATIONS DE e PAR LES (A„ B,, C,)'.
. , Si l’on désigne par ilî>o\, O,, les fonctions, inverses - de - au module descendant h du tableau (lo) , par ’
r«,, les fonctions de ^ an module aseendant^g^ du
tableau i), par Aj, Bj, C,, les fonctions de £ aii module .primitif A, les formules des deux tableaux (lo) et (ii)' résolvent rcspcctivennenl les équations suivantes : > ’ ' •
Ma, ' ■
. Ja' v^a«v,-A'’ A’
I ' rX •.
^ ! i/ri +■ I v^rü' -t- A'“
que l’on déduit aisément des dilférentielles (6), § 27,-' .
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si;» LKS rOMCTlOHS INVERSES, trf'é. • l8l
Donc'tmfin, f>our transformer la tfanseendàntc e, ou* peut appliquer l’uiie ou, l’antre des deux Iraiisformations descendante et ascendante, à Tune quelconque des neuf fonctions inverses (A,, B,, les coefficients ou X, les modules h ou g auront’ les mêmes valeurs clans tous les cas, quoique étant exprimés d’une manière ditréreiite d’un groupe àTautre. • - <
§ C^LXXYIII.
OÉNÉRALISATION DES TRANSFORMATIONS. ' -
A chaque valeur du nombre entier impair p cOrrespondent, pour la transrendante £, deux transformations dites du degré p, et qui sontjl’unc descendante, l’autre ascendante. Pour opérer ces transformations, on peut exprimer la transcendante, à l’aide de l’une ([uclconque des neuf fonctions inversés ( Ai , B, , C,) , par la première intégrale de l’une des neuf équations (3), (8), (ta), et la fonction inverse transformée sera donnée par runc des neuf formules (i), ^6), (lo) au module^ descendant /), ou par l’une des neuf formules (a), \y), (il) aii module ascendant g. Le problème de la multiplication de la transcendante se résoudia eu appliquant successivement deux transforinations du môme degré,- ’ la première descendante, la seconde ascëndaiitc! , à la même fonction inverse, quelle qile soit d’ailleurs cette fonction.
. ' - . . § cxxxix; ■ . -
<■*'.** * ** -* , ’ ■ ÉCHELLE DESdENDANTE. ' ■ '
, Soit ,r= l'’(e;7r) la fonction inverse que l’on adopte; une
’premièretraiisformatioh descendautedonnera j’==F^-; .
qui , par une seconde tranformarion aus.si descendaiite^'don- •
nera y, = F ( -4^v/i, |> qui, par une troisième iraiisfor-
i8a ''' ■■■ ■ LEÇONS "■ ■■ .
niatioii enrore desrctidaiite, doninTa y, :;= F ( | :
cl ainsi de suite. Les degrés de ces ^transformations peuvent être les mêmes ou tous égaux à />; ils peuvent être ' (lin’érent.s ou successivement égaux à p, p,^ Dans"
Ions les cas, la suite des modules fi, /t,, Aj,... formera . ce qu’on appelle une éc/ie//e/^escc«f/flnte. Celte suite convergera vers zéro, et l’on pourra la prolonger jusqu’à un • lerme A, aussi petit (jue l’on voudra. Alors la fonction in-
ese J, = F
A; J il
aura très- sensiblement la
même valeur que dans le système correspondant à A = o., analysé aux §§ 96 et 97y si l’on désigne par 0 la variable de cette derni«'rc fonction inverse, on aura, à très-pe« près, . • , ■
et, pour obtenir une éfjuation d’oVi l’on puisse tirer 0, on. égalera l’une à l’autre la dernière transformée F(0; A,) exprimée en x = F (e; A), et la fonction inverse F(0; u) a|)j)artenant au système de A y= o. Par exemple, d’après, le ^97, cette équation finale sera ' j'
■ sin 6 = Ÿ~'
cossi^;
si F est A.
si F est B , . ^ si F est A, ou B, ,
si FestC,,-
■ s<!c6=jt , i si F est A, on B.,, ■ -
■. i . tangO^/i, si F est Cj, •"
et , pour chaque Valeur de X — F (s; A) , on aura â résoudre
S( R LES rONCTIOftS IMVERSES, ETC.. ■ iS.i
une équàtipn Irauscendaiile atiu d’obleitir la valciu- corres- |>ondaiile de 0 qui ,”sub.stiliiée tlans l’ècjiiiilioii (i 3 ), don-' . liera e. ■ ■ • ' ' .
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