A LA DOUZIÈME LE^N
Avant d’aborder les applications physicomathématiques des fonctions inverses (A/, B,-, Q), il importait de résumer succinctement leurs propriétés communes et diverses. Or les formules (i) et (a), (6) et (7), (lo) et (i i), établies dans la leçon "qui précède, sont toutes vérifiables à l'aide des mêmes propriétés, qu’elles rapprodient et passent ei»' ’ revue de 1 ^ manière la plus. simple et la plus complète. Lavérification directe de ces six groupes de formules pourra donc remplacer le résumé que nous jugions nécessaire. <
11 faut premièrement rendre plus commodes et même ' compléter les tableaux (10) et (1 1), pages 84 et 85 , destinés, à donner les séries des valeurs çle la variable, qui annulent ' et rendeut infinies les fonetions inverses.' On atteint le but en remplaçant, dans ces tableaux , 'tous les multiples 4* e\ 4/ qtt* s'y trouvent- par 2 1 et 2/, tous les multiples , (4< + i) et (4/ + 1) par (21 - 4 - i) et (2/ -t- i) ; ces entiers, pairs et impairs, pouvant être ou positifs ou négatifs.
En ellèt,,.si l’on considère ces tableaux tels qu’ils sont, -, -on peut prendre les entiers i et / positifs ou négatifs on*, peut aussi changer le signe des parenthèses sans altérer les ,
. seconds membres. Or si , dans un des multiples ( 4 t +i) ou (4/ + i) ou change le signe de'/ ou de 7, puis le signe de la , parenthèse qui contient ce multiple, il deviendra (4/ — 1) ou (4/ — i)q un nombre impair quelconque" peut donc le remplgcer. . • •
- " D’ùii autre côté, les fonctions A, B, B,, C, s’annulent ' deux fois dans leurs périodes .réelles qui sont à quatre qua-
.L.Iîvo^s
drants, savoir : A })our o el à K-, B pour K et 3K, Bi pouro el aK', Ct pour K' el 3 K'. Pareillcineul les foneliojis A„- B, sont infinies deux fois dans leur "périoile réelle qui est à quatre quadrants , quand £ = K et quand £ = 3 K. Ce qui double les séries pour les fonrlions précédentes, et par suite,
. |K)ur toutes les autres, d’après les liaisons ou les passages • indiqués aux §§ (53 et H4. De là, résulte que les et 4/ doivent être remplacés par az et-ay, non-seuleinent dans les multiples impairs, mais aussi dans les multiples pairs.
r,n un mot, |i , pour une valeuV quelconque de g' au tableau (6), § 6i, les périodes réelles ou imaginaires sont de deux sortes, à (fuatre quadrants et à deux seulement, dans les séries des valeurs qui annulent et rendent infinies les fonctions inverses, toutes les péiiodes, sans exception, sont à deux quadrants. Telle est. la règle simple et commode qui servira de point de départ à toutes les vérifications qui vont suivre. ' .
D’après nette règle, les séries des valeurs qui rendent in- ' finies les (A,-, B,-, C.) sont au nombre de trois seulement, ■■une pour chaque imlice. Mais les séries des Valeurs qui ' annulent les neuf fonctions restent dislincU's. ;
Pour simplifier, F, représentera une quelconque des ■ fonctions inverses avec son indice, “et pour faciliter les, renvois, les lettres suivantes désigneront, les formules employées, savoir : ’ ■
” ■ L : (l3), S dùunant les K (K — i) par les F (j) ;
V, M:(3}, § G7 , donnant les F (K. — s)- par les'F,(s);^
N : ( 7 ), § 03, donnant les-FiK — t) par les F', (i); -
' P : ( 9 ), §63, des translocinations coinplcmeiil^rés'; •' Q : (a5), § 7.B, donnant les coF,- par les F,; ■ ^
R ; (j3), (i 4)» ('5/, § 34, dos transforiiialidiii réelles; ' • I ; (5), (5 bis), §<>0, des iransfonnat jolis imaginaires.
Digiipèd.by
Aux formules Q, il faut joindre les suivantes, <jue nous désignerons parQ', et qui donnent les cô F, (/ v^— i) à l’aide . des F((e) ou dcseo F' («): ' ‘ '
■ , CO A (j 1 ) == = CO C' (< )> ^
CO B (s v^— I } = X' ro B' (.s),
COC(sv' — 'J= 77
