A'IO
CO A' { î ) ;
CO A, ( I s/ — I ) = (».. ; ■ •
coB, (£\/— I ) = ;^^ = -7 ^=.coB',{£), ;
- B, lO 7 V — »- -
coC, ( eV - I, j"= S77]-“ ^ ) i
CO A, (s \j— i')' =
oC, (j
yj~ (?, (£) ^ ;
/ f— — \ K A, { S } I .Vf / V ' • . . * .
'coB,(.v^i)= = -==:coB. (e),
• coC,Uv^— 1} = -I^co A', (î)- • '
■ 'V— I '■'il ' ' . ' '>■ .
ün les obtient en employant successivement les (Q, I, R, Q)< ''
Il importe de remarquer que toutes ces valeurs changent de ' . . ' signe avec e : dans la première case par (e) , dans'la se-> " . ; '
coudé par B', (« ) , dans la troisième par Cl ( s). Il en est de' ’• même des coFi.donné.s par les fonnules Q: la première ligne changeant de signes avec A , la seconde avec B,, la '• •
troisième avec C,. • , - i .. - “ • . ’
V Toutes CC.S préparations faiU's, si l’on pose' . , * '■ . • • • ■
les six groupes de formules qu’il s’agit de, véi:ifier doimenir . •
l88- • LEÇOUS ■
en fonction Ta tioimelle de X : soit
ie dénominaicuT et le muilulc h étant tels que ' ' . .
’ • ;k = p/^H, K'=piH', • .•
relations où p est un nombre entier, im]>air et quelconque :
soit . . . r , ■ •' -/
le dénominateur X et le module g étant tels que \ ^
K=3iG, K'=X/jG'. • '
■ Dans le jiremiei* cas, ayant posé —= t’, le dénominateur
de J' doit s’annuler pour toutes les valeurs distinctes dé x, données par le tableau suivant: '
F(H'v^ — I — 2/1 H; A.) = 00, t = K,' — i — 2///,' .. x = F(e) = coF ( 2 . /»/');
• ^ ' j; F, (-€) coF, ( 2 /j/ y^'^ I );
Fj [ (// — 2 // ).H ; A ] = X , t ~ {/J — 2 // ) / = K — 2 ///' , .'
' ' J- = F.(£) = coF, (2///), ‘
où n est un’nombre entier quelconque, positif ou négatif. (Dans chaque case , la premièle équation indique une série
de valeurs de - qui rendent y infini, la seconde les valeurs
correspondantes de £ , la troisième celles de x.) Ces valeurs,
les (Q, Q'), efla loi des changements de signes des coF,,
justibent complètement les dénominateurs dès groupes
Dans le second ras , ayant posé — = /', le dénominateur
Ôigjlized,by Cooglt
•• ■ SUR XES FONCTIOKS ISVERSES , ETC.' 189
J(*y doit s'annulei' pour toutes les valeurs distinctes de x données par le nouveau tableau '» ’■ - • '
F[(/j — 2n)G'v^ — i;g-]=oo, s = K' \/ — — i,
;?- = F ( s) = CO F (2 /!/■' V — T) ; • '
F, (/^G'-)-Gv/^— 2nG';^) = «), e — K' -J- K 2 /»'%
.r = F, («) = roF, (2/7/') ; . , . '
F, (g — f.nC%'\j — I -, g) = XI , t R — ^an/'y' — I,
‘ i = F,(£) = coF,( 2 /if' ).
Ces valeurs, les (Q', Q), et la loi des changements de signes
des CO F, J justifient la composition des dénominateurs dans
les groupes (2), (7), (il). ' , ' •
Passons aux numérateurs. Pour les formules (i) qui
expriment lès F appartenant "ah module A, on a * • 1 '
A(2«H;A)=o, t=7,ni, ' • . ' - J
'1 'J C('f.ni)' ■. : .
C[t) — coC{ P — u) i — I k-
B ( 2 ni)
[Dans chaque ca.se, la première équation indique une valeur générale de - qui annulejF, la seconde la valeur correspondante de E, la troisième celle de x, ou de F (e) J. La seconde valeur de B (e) résulte des L, cellç de C (e) des (Q, L). Les trois valeurs définitives s'annulent et changent de signe avec n,'par A (an/);- les polynômes variables qui composent les numérateurs des formules (1) sont ainsi complé-
igo -, • LKÇOHS ^ . ■. ■
leineiu justifiés. Lus premières valeurs, jointes à la forme ■générale des déiiominaleurs, justifient pareillemeirt les formules (aS) du ^ H7.
Pour les formules (6') qui font passer les F, du module A' au module /i , on a i '
At[{// — H y— I ; /|]= o, t= (/>’— 2«) /y— 1 , ,
, — i;/() = o, t = 2 .ni ^ — i, '-r-'.
B,(«) = B, (a/J^y— 1)= v^ — I B', (am); . ..
C, (H' — 2/îU V — ! » O, e
Les secondes valeurs de A, («) et B, (s) résultent dès 1,.“ celle de C, (e) des (N, I, R). Ces pois valeurs s’annulent et changent de signe avec «, par B', (an/), C, (R) = o , et parce que C', ( /; — a «) / et C\ {p -+■ ^n) i ont des signes contraires; tous les facteurs variables aux numérateurs des formules (6) sont donc justifiés.
Pour les formules ( 10 ) qui transforment les Ft par le passage au^module /<, on a .
A,[H'y— ' — 2«) H;A]=o 7, t '= kV— t 2 «Vi,
■ B, (h' y — 1' — 2«H; A) = o,’ < = K'y~i — 2 ni, '
' , / /— ^ \ * A C, (2 ni )
-”"') = S Â^ïTr/i'-. .
;C,(2nH ; A).= O, « = 2«f,. ,,
N yc,(.) = c,(am). ’ ■
■■Qigitlzedisy CPoglç
SDK LES FOKCTIOHS INVEUSE», ETC.' ^ I9I
La seconde valeur de A, (s) résulte snccessiveinent des (P, I, î\, R), celle de B, (e) des (P, I, R); Les trois valeurs définitives s’annulent et changent de' signe avec n, par <iî (2w/) ; les numératcui's variables des formules (lo) ontainsj leur justification. • • ■ 'Z. ‘
Pour les formules (2) qui expriment les F appartenant au module y», on a ' < • . • '
. A (2/1G' y/— 1 ; g) = O, 2 /II' V^— I, . . , ,
B (g — 2/jG' V — 1 '; ~ O, £ = K. ^ 2/!f' — I,
• B(s) =BlK-2£./'v'^^='V^B'(/' — an)/';
C(«) =± C [k. — (/> — a'ni/V^] — A' (2n/' ).
La seconde valeur de A (e) résulte des (I, R)^ celle deR (e) des (P, ^i ), ainsi que celle de C (s). Ces trois valeurs s’annulent et changent de signe avec w, par A'{ini'), B'(K') = o, et parce que B'(/t — -ih) i' et B' ( /> q- 2 n) t' ont des signes contraires; ce (jui justifie tous les facteurs variables , aux numérateurs des formules (2). • .
Pour les formules (7), qui font passer les F; du module A au module §■, on aura ' . “ . . ■ .
' A, [G pG' — (/J — 2«) G'; gj O,
A, {e; r= CO A,(p 2 n ) /' y^— 1
B,(2n/') G, ( 2 ni' )■
• ' - . B,( 2 «G'; g);3= ô, t = 2 ni', ' , ■;
C,[(p'— 2/t) G'\g] =0; v s= ip — ■xn)i', • : C, (.e) G,(,p.— 2n)/'.
La seconde valeur .de A.fs) résulte successivement des -• (Q, N, R). Les trois valeurs définitives s’aniiulent etchan-s gent de signe avec n par Hj {mi'), Ci (K') = o, et parce (Jue' Ci(p — 2n)i' et Ci (p -f- 2 n) /' ont des signes contraires 5 tous lés facteurs variables aux numérateurs des • formules (7) ont ainsi leur justification, e .■ ' ^ . ..
'Enfin, pour les formules (n) qui transforment les F, par le passage au module g, on a , ■ .• , '
' ' J =4 K -H K' V^— I — 2ni' \/ — I, ' ' .
A,(j) = A, (k - t- RV'— ‘ ) t= i €’,(2ni'),. .
- — 2«jG'v/— Gg] = o.' -£ = (K' — Ij . ,
• C ,(2 7jGV— i; g) ^O,
C, (e ) =r C, ( 2 ni' ^ — i) ,=
C', (2ni'l
Là seconde valeur de Aj (e) résulte des (P, I), celle deBj(£) ^des celle de C,(e) des (I, R). Ces trois valeurs
s’annulent et changent de signe avec n, par C', (271/'); les numérateurs des formules (i i) sont donc justifiés. ^
De l’ensemble de ces vérîficati’ons partielles à une démonstration générale et directe, aussi simple que celle d’Abel, il n’y a qu’unvpas. J’évite de le franchir : quand on • expose une découverte aussi’importahle que celle de Jacobi, il faut conserver la méthode de l’inventeur. Remarquons * cependant que la solution du problème de la transformation des transcendantés elliptiques peut être résumée en, une Seule formule, comme celle de la multiplication l’est par la formule (i 5 ) au § 5 S. Eu effet, en désignant collectivement par Fiés neuf fonctions inverses-, et en se servant
SUR LES FOMCTIONS INVERSES, ETC.' ig3
des (Q, Q', L, N, R), on déduit successivement les six groupes vérifiés, de la formule unique
F^fs)
' coF-{ 2 /?é).
le coefficient constant K étant A’ pour un A;, — A’ A'* pour un B;, A'* pour un C,-.
S’agit-il de passer au module descendant h , faisant m =; p., l = h, on prend e = t si F est A , B , C, Aj , B|, ou C, , et e = — I si f’ est , B, , ou Cj ; puis M = p pour A , B,
C , Cl , C, , et M = ±p poui- Al , Bi , A,, B, , suivant que P = 4j àzi. S’agitTÜ de passer au module ascendant faisant m = A,I , on prend e = i ' ^ — i si F est A, B , C , A, ,B, , ouC,, et e i' si F est A, , Bi , ou C,; puis M = X pour A , Al , As , B, , C, , et M = rb X pour B , C , B, , Ci , suivant que /? = 4 / — ' •
Ainsi, l’introduction des trois compléments naturels et des coF,-, §§ 77 et 78, qui permet d’exprimer en. une seule les formules primitives d’Euler, ramène aussi à l’unité les formules finales de la transformation, trouvées par Jacobi. Preuve nouvelle qu’un des caractères principaux, le plus essentiel peut-être, des neuf fonctions inverses F, c’est d’avoir toutes des coF, ou d'être toutes Infinies pour certaines valeurs finies de la variable, «réelles ou imaginaires.
Il n’est pas inutile d’observer que la formule (a), qui groupe les neuf fonctions inverses par les indices, quand il -s’agit d’assigner le complément naturel ou le coF, les groupe au contraire paY les lettres, lorsqu’il faut choisir la valeur de la constante n. Le premier classement est celui qui sépare les axes des trois familles de surfaces isothermes, le second celui (jui distingue les valeurs des coordonnées rectilignes (a:, y, -z), (3) §81. En outre, le groupe des fonctions impaires (A, B,, C»),qui fournit exclusivement
ty4 ■ LEÇOKS
les dénominateurs des co F, est aussi nettement indiqué dans le système des coordonnées thermométriques (a, p, y) par l’équation remarquable
= -hC’),
que l’on déduit sans peine des valeurs citées. Ces coïncidences,, et d’autres encore, ne font que constater la liaison intime qui existe entre les définitions géométriques et les prbpriétés analytiques des fonctions étudiées. . '
Sl'K I.ES FONCTIONS INVEUSKS . F.TC.
