POUR L’EU.IPSOIDE EN GÉNÉRAL

Le corps solide étant rapporté au système des coordonnées thermométriques (a, (3, y) du § 8i, considérons dans son intérieur un élément de volume dsds^ ds ^ , compris entre deux surfaces infiniment voisines au paramètre a, deux au paramètre |S, deux au paramètre y. Soient , .

U — ds ] ds ] J

' ds } ds y b) ] — — ds ds y y

les trois faces de cet élément qui forment le sommet où les paramètres ont les moindres valeurs, et &)', w'- , &>', les trois ^ faces opposées. Il s’agit d’évaluer les quantités de chaleur qui traversent ces six faces dans l’unité de temps. Rappelons que dans le système de coordonnées actuelles, on a les valeurs

rfj = cD|D,ùa, ùi, = cD,Drfp, = ç DDij/y,

[(5), ^83)3; lesD; étant donnés par le tableau (a), § 80, qui montre que D est indépendant de a, D, de [5, Dj de y.

D’après l’expression (a), le tluX de chaleur qui entre dans l’élément par la face Cl) est . -

dV\

on qds,ds,\ ^/’

St R LES ^■OÛ^CTIOBiS tA VERSES, ETC.

‘ÀO'i

ou oiifiii

c(/ D'd P dy

on aura évidemment la quafitité de chaleur qui sort de l’élément par la face îj)', en ajoutant à l'expression précédente sa diiréreniielle en a , ce qui donne

puisque D né varie pas avec a; l’excès ,du flux entrant par fij surde flux sortant par w', est, après réduction,

rt/da.dp dy . D-

dâ''

De la meme manière, le couple des faces ((»,, w',) donnera l’excès

re/da dpdy . DJ

et le couple (w, , tOy) cclui-c.i

■ rr/dadpdy.Dl

dy'

Or la somme dç ces trois excès ou de ces trois gains de chaleur doit être nulle, puisque la température de l’élément est stationnaire; on a donc nécessairement

da.'

Telle est l’équation générale de l’équilibre des températures, exprimée dans le système des coordonnées .thermométriques («, |3, y).

Les D, peuvent être exprimés indifiércmmeiit ]>ar lés. A,, par les B. ou par le C.. Adoptant le premier mode, et supprimant l’indication de la variable qui sera toujours a

ao4 LEÇONS ' ■ '

pour 'A , jS pour Ai, y pour A, , l’équaMon ( 6 ) deviendra .

^ rf’V ' ' (l'V

(7). (Aî-A?) — '+(AÎ-A>)— + (A;-A*) = o.

Enfin si l’on désigne par (8) ■ v = cA, p:

cAi , P =: rA,

les premiers axes des trois familles de surfaces conjuguées , il résulte du § 93 que^ les coordonnées thermométriques («, /3, y) seront les transcendantes. - . ,

, — r r ——iL—

Jh — 6’ ^C’ — p’

Je Vp’ — — p’

et l’équation ( 7 ) multipliée par c’ prendra la forme

• rf’ V ’ rf’ V f/’V

plus commode dans les applications. <

Pour la 'recherche que nous entreprenons , il importe d’exprimer aussi l’équilibre des températures dans deux autres systèmes de coordonnées : celui des ellipsoïdes planétaires, § 97, et celui des ellipsoïdes ovaires, § 101,. Ces ' J systèmes n’étant que des cas particuliers des coordonnées elliptiques , les nouvelles équations sd déduisent de l’équation générale ( 7 ) ainsi qu’il suit.

ao5