FLDX DE CHALE.UR EI.LIPSOID.AUX
Terminons celle leçon par deux applications de l’expression du flux de chaleur ellipsoïdal. Une enveloppe solide est limitée par deux ellipsoïdes isothermes; la paroi inié-rleure au paramètre y, est entretenue à, une température fixe, prise pour unité; la-paroi extérieure au paramètre y,-
2o8 leçoks
a aussi une température fixe et constante, prise pour zéro 5 la température V qui existe sur un ellipsoïde intérieur au paramètre y est , d après le § 2 ,
v = 3!îZL1,
dV
d'où — =
Alors l’expression du flux, traversant l’élément u, du § 148, devient
cq
[Aî(p)-Ana)]<^«rfp;
et pour'obtenir le flux total qui s’écoule dans l’unité de temps par la surface entière de l’ellipsoïde au paramètre y, il faut intégrer ce flux partiel de o à cr pour a , de o à ra pour (3, puis prendre huit fois le résultat. Or, d’après la formule établie au § 104, ce flux total sera . ; '
4it
expression indépendante de‘y, comme cela devait être.
' Dans la même enveloppe solide, considérons encore l’ellipsoïde isotherme au paramètre y. Le flux qui traverse un élément ' •
est égal à i
- D’<7arfp;
ici rélémeiit de "surface co, varie de grandeur avec a et /3. Substituons à cet élément variable un élément consîaiU fl, ou, posant . ^ ^ .
imaginons que les diflérentielles.ya, varient de teTlè sorte que le premier membre conserve la même valeur
■ '(S igitiz«<l byXiexigle
SUR LES FOMCTIOKS INVERSES, ETC, 20g
pour toutes les grandeurs des ’i),. Cette équation posée donne * '
et le flux de chaleur qui traverse fl a pour expression
ty il
A l’extrémité du grand axe de l’ellipsoïde dont les coordonnées sont a = CT, {3 = n', d’où A = /', A, = i, le flux sera '
* * * fj il ' ' *
à l’extrémité de l’axe moyen dont les coordonnées sont a = O, (3 — ct', d’où A = O, A, = i , le flux est
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enfln, à l’extrémité du petit axe dont les coordonnées sonta — O, (3 = 0 , d’où A = o, A, = /r, le flux devient
y il
Les trois flux sont entre eux comme les fonctions inverses Al, Bï, Cl, ou comme les axes de l’ellipsoïde isotherme.
Cette loi est la même que celle qui régit la tension de l'électricité statique à la surface d’un ellipsoïde conducteur. Concordance que l’on pouvait prévoir, d’après l’identité qui existe entre les surfaces isothermes et les surfaces de niveau : car. si la température et le potentiel sont représentés par la même fonction V de y, le flux calorifique et
aïo LEÇONS
la tension électrique s’expriment par la dérivée «le cette fonction, et sont conséqueranient proportionnels.
On arrive plus rapidement à la loi énoncée, en l’emarquant que l'épaisseur de la couche comj)rise entre deux ellipsoïdes aux paramètres y cl y dy , étant égale à varie comme le produit DD,; et que, d’après la loi physique (i), l’inlejjsité du flux de chaleur doit être en raison inverse de cette épaisseur, qui, à cha<jne sommet, est cllemème en raison inverse de l’axe correspondant, d’après les» éga I i lés
Aj rfA,= = C,f/C, ,
déduites des difl'érenlielles (6’), § 37.
StIU LKS FOJNCTIOWS INVERSES, ETC.
