CLXI

' ■ PARALLÉLIHPÈDE RECTANGLE.

Exemple III. — Le corps solide est un prisme rectangle dont les côtés sont 20, ic. Cinq de ses faces ont la température zéro. dans tonie leur étendue; la sixième a des températures fixes en ses divers points, lesquelles sont distribuées symétriquement par rapport aux faces latérales.

L’origine des coordonnées étant placée au centre du prisme , et les axes étant parallèles à ses côtés , les six faces auront pour équations :

J^a température est zéro sur les cinq premières; sur la sixième elle est variable avec x et y, et donnée par une fonction F {x,y) paire en x et paire en y.

Il s’agit de trouver une fonction V de [x, y, z) :.i° qui vérifie l’équation .

Hx‘

dz‘

2” qui s’annule séparément pour x = — a, x = j= — b, y=--\-by — c; 3 ” enfin qui se réduise à

Fia-, y) quand

• c; 3 ” enfin qui se réduise à ■c, et puisque cette fonction est

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rry

SUR LES FOKCTIONS IMVEBSES, ETC. 3a5

paire en x et enjr^ la fonction V doit être de même nature. Comme dans les exemples précédents, on compose V d’une série de termes simples, satisfaisant chacun à toutes les conditions qui précèdent la dernière.

’’ Soit U un des termes simples. Pour qu’il puisse s’annuler séparément sur les cinq premières faces, il doit être de la forme U = XYZ ; le facteur X ne contenant que x et s’annulant pour x = d: a, Y ne contenant que y et s’annulant pour y = en6n Z ne contenant que z et s’annulant quand z= — c. ,Ce terme doit vérifier l’équation (27), ce qui exige que l’on ait

X "‘■ÿ dÿ^~'~z ~dï^

Le premier terme ne pouvant contenir d’autre variable que a:, le second que y, le troisième que z, ces termes doivent être égaux à trois constantes: — m*, — n*, -t-r*; la troisième r* étant égale à (m* Ainsi les trois facteurs de U devront vérifier les trois équations différentielles

dx'

dz‘

Le terme simple U, comme V, doit être pair en x et en y ; X et Y'ne peuvent donc être que cos mx et cos ny. En outre, pour qu’ils s’annulent quand x=±a et y=rt:4, les constantes m et n doivent avoir les valeurs