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i et j étant des nombres entiers quelconques. Le faeteur Z

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doit véi'iütT la iroisicme (28), s'annuler pour z — — c, et , se réduire à runilé fjuand z = afin de sitaplificr la

rerhcrthc ultérieure; ce facteur sera donc "

'(arc)

Kéunissant tous les ternies simples correspondants à '

toutes les valeni s des entiers 1 ely, la fonction V se présente

sous la forme /

,5 , ,, VVé

où ni , « j /■ ont les valeurs ( 29) et ( 3 o) ; le double indice de la constante arbitraire G indiiiuani les valeurs des entiers / et y qui particularisent le terme qu’elle multiplie. Cette fonction V devant se réduire à F J') pour z = -f- c , on doit avoir

( 3 a) G(,-, y) cos nijc cos ny = F [x, jr ),

et il s’agit de déterminer les coefficients G,, -.y).

Le tbéorème (9) établit que les deux intégrales définies

cos rnx cos m' xdx.

co% ny iOi^n' y dy,

sont nulles quand m et m\ n et n' sontdillérents ; elles sont d’ailleurs égales à a, à b, quand m'=m, n' = n. A l’aide de ‘ces propriétés on isolera le coefficient G(/, y;, en multipliant l’équation ( 3 a) par cosntx cos nydxdy, et intégrant de sr = — a a x = + a, dey = — b k y = -y b ^ double intégration qui fera disparaître tous les autres termes du premier membre, et l’on aura, en remplaçant x et y par

a et |S scîus l’intégrale définie double,

( 33 ) Gr,.y) = ^J j K^'a, 8 ) cos/Hut cosn^r/ar/p.

Avec celle valeur, la double série (.3i) sera la fonction V «-hcreliée.

Par cette même valeur (33), la formule (32) développe, en sérii» de cosinus, une fonction de (x, y), paire en x, paire en y, et d’ailleurs quelcoiKpie -, genre de dévcloppententqui seul permet de constater que la fom:tion V (3i) satisfait à toutes les conditions qui lui sont imposées.

Si la fonction F, qui donne les températures fixes de la face’s = + c, est impaire par rapport à l’une des variables, eu X ou en y, il faut remplacer, dans chaque terme simple,cosmx ou cos ny, par sinmxou sinny, et prendre

/jr jv

ni = — ou n z= — a b

au lieu de la valeur (29). A l’aide de ces changements, on obtiendra immédiatement la série (3i) exprimant la lempéraluro V, si la fonction b’ est impaire en x et paire en j', ou paire en x et impaire en j, ou enfin impaire en x et en y. Ces trois cas, joints à celui que traite directement l’exemple actuel, donneront quatre séries particulières et distinctes.

Si la lonction F est quelconque, ou composée de quatre parties rentrant respectivement dans les cas précédents, la série générale V sera la somme des quatre séries particulières; et l’on pourra substituer la fonction eutière aux fonctions partielles, sous les intégrales definies doubles des coefficients généraux (33), parles mômes raisons qui établissent l’identité des valeurs (i3) et (« 2 ).

Enfin, si tous les points de la surface du parallélipipèdo ont des températures différentes, il faudra répéter la même

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suite d’opérations pour chacune des six faces, en dénnant à cette face les températures qui lui appartiennent, et supposant les cinq autres à zéro. On aura de cette, manière six séries générales, dont la somme exprimera définitivement la température V d’un point quelconque pris à l’intérieur du prisme rectangle.

Cette multiplicité des séries composant la valeur définitive de V, capable d’embrasser tous les cas, tient à la discontinuité de la surface qui limite le solide. Elle appartient à tous les corps de forme polyédrique , mais elle n’existe plus pour les sphéroïdes que nous traiterons dans les leçons suivantes. Ce qui'prouve qtte le prisme rectangle, généralement choisi comme l’exemple le plus simple, dans les questions de physique mathématique, est au contraire fort compliqué ; et qu’il y aurait de l’avantage à essayer d’abord 'des corps d’une autre forme : c’est-à-dire à prendre un système de coordonnées autre que celui des {x,jr, z).

$ÜR LES rï)MCTIOHS INVERSES, ETC.