CAS DE LA SPHÈRE

Exemple lE. — Le corps solide est une sphère pleine dont le rayon est r\ tous les points de sa surface ont des températures fixes, données par la fonction F (ili, p), ^ étant la longitude et p le sinus de la latitude. 11 s’agit de déterminer la fonction V des trois coordonnées sphériques (ip, P, p) qui exprime la température des points sitpés à l’intérieur de la sphère. Cette fonction doit : i“ vérifier l’équation aux différences partielles

dp

§ 147 ; 2 ° se réduire à F ((p, p) quand p = r. On peut la composer, comme dans les exemples précédents , d’une somme de termes simples, vérifiant chacun l’équation (i), et tous multipliés par des coefficients, d’abord arbitraires, qu’il faudra ensuite déterminer, de telle sorte que la seconde et dernière condition soit satisfaiie.

Soifü un des termes simples. Il est naturel d’essayer s’il peut avoir la forme U = QPR d’un produit de trois facteurs, Q variable seulement avec (p, P avec p, R avec p.

LEÇOSS

Substituant dans l’équation (i) le produit QPR à V, et divisant ensuite par ce produit même, on aura - • . '

dV ^ ^dK

— do' —

df>. 1 dp

^ R dp ~

Le second terme ne contenant que u, il doit en être de même du reste de l’équation ; ce qui exige que les deux fractions'

I d'Q I dp Q d-y ' R dp ’

aient pour valeurs des constantes 5 car la première ne pourrait introduire que la variable la seconde que p. La question traitée, qui concerne exclusivement une sphère pleine^ sans lacune à la surface, indique quelles peuvent être ces constantes.

§ cLxiir. ' .