CONDITIONS RESTRICTIVES

La fonction V doit évidemment rester la même si l’on augmente la variable i|/,.ou la longitude, de agTZ ou d’un nombre entier dê circonférences. Donc V ne peut contenir la variable que sous des lignes trigonométriques. Pour toutes les valeurs de i|/, V doit rester fini; donc ces lignes trigonométriques sont exclusivement des sinus et des cosinus, et de plus, V étant développé suivant les puissances entières de simj/ ou de cosi^i, les exposants de toutes ces puissances seront essentiellement positifs; or oe développement pourra toujours être transformé en un autre, suivant les sinus et cosinus des multiples de Par suite de l’in- . dépendance mutuelle des coefficients arbitraires, chaque terme simple U doit jouir des mêmes propriétés restrictives que V ;donclefacteui'Q peut n’êlrequc lesinus ou le cosinus

SUR I.ES FOHCTIONS IWVEUSES, ETC.

d’un arc / élanl essentiellement un nninhre entier. Dans

les deux cas, la fraction ^ -7^ 'se réduira .à — /*, c’est-à- V '' Y . -

dire que Q vérifiera l’équation différentielle

d-if'

Au centre du système, où p :;= o, et qui est un point du solide, la temj^éra Un e doit être finie. Donc si V est développé suivant les puissances entières de p, les exposants vie toutes ces puissances seront essentiellement positifs. D’après cela, le facteur R peut n’être que la puissance /i"™'' de p, n étant entier et positif. Pour simplifier la recherche ultérieure,

on peut prendre R = ; par cette valeur la fraction

se réduira au produit ;/ (n-t-i); c'esl-à-dire que R vérifiera l’équation aux ditférences partielles

.rfR ' • • ■

rfp>-

Par les substitutions resjicctives de — /* et /i(n-t-i)

rf'R

aux tractions - -77^ et -

fi 0^

l’équation (a) devient

I — fi’

et cette équation dillérentielle doit être vérifiée jiar le facteiir P, fonction de p seul. La forme essentielle de ce facteur est encore indiquée }»ar la question traitée.

- Aux jioints du .solide qui sont situés sur l’axe polaire

DiCii;:."-- by GoogU

a3a LEVONS

(lu système sphérique, la température doit être déterminée et linie; or, pour tout point de l’axe polaire, cos0 ou le cosinus de la latitude est nul, la longitude restant quelconque. Donc non-seulement V ne peut contenir que sous les lignes trigonométriques sinus et cosinus, mais en outre sin(|< et cosi|( y ont pour facteur inséparable cosfl ou I — (X*; c’est-à-dire que V contient, outre les variables simples fx et p, les variables composées — /x* costfi et y^i — fx* sin(|<', si costfi et sinij/ y entraient d’une autre manière, ils ne disparaîtraient pas pour jx= ±: i, et les températures des points du solide situés sur l’axe polaire ne seraient pas déterminées. D’après cette nouvelle propriété restrictive, Q, qui estsin l{p oucos/ij(, c’est-à-dire une fonction entière homogène du degré l de sini|> et cos({/, doit

être accompagné du facteur cos' 6 ou (i — et P doit contenir ce facteur.