J —TT

résulte

nr=o

Cette dernière formule sera comprise dans les précédentes,

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SUR LES F0NCT1*HS INVERSES, ETC.

si , posant

cos* C*V,

OU substitue, au déuoininaieur des seconds membres (i 4 )î Ml , intéfirale définie qui est a r ou tt , suivant que / est on n’est pas zéro; simplification que nous adoptons.

Dans tous les termes des sigmas simples (i4 ) j l’entier / a une même valeur fixe; les indices supérieurs de la fonction P et des constantes sont seuls ebangeants, depuis « = / jusqu’.à n = CO ; les seconds membres ne contiennent plus d’autre variable que fz ainsi que les premiers. Outre la fonction P correspondante au groupe (/, «), et qui vérifie 1’^ quation différentielle (5), introduisons une fonction semblable P qui corresponde au groupe (/, n'), n' difléraut de n, et qui vérifiera l’équation différentielle

L’élimination de /’ entre les équations ( 17 ) et (5) donnera

[«'(«' -Ht) — «{/J -|-i)]PP' =

si l’on multiplie par dfx et qu’on intègre entre ft = — i et U = -f-i, le second membre disparaîtra ; car l’intégrale indéfinie de ce second membre , qui est

s’annule aux deux limites par le facteur i — P et P ne

a4o LEÇONS

pouvant être inCnis ; on aura dvic nécessairement

[«'(/j'-l-i) — /i(«-4-i)] et n' différant de n,

Ce théorème important (i8) donne le moyen d’isoler chaque coefficient des identités (i4) et de déterminer leurs

valeurs. Multipliant les deux équations (i4) par d/x,

intégrant dep = — i àfx = +i,et posant

on obtient définitivement les formules générales

p'"M F(^-,^)cos/-I-rf,],rfu,

w//?' v—t */ — TT

o)ipyU—i J— K

Enfin, après la substitution de ces valeurs, la double série (i i) ou (i a) sera la fonction cherchée.