DOUBLK FORME DES FACTEURS F ET R
Puisque tout facteur constant des fonctions P et R peut rentrer dans le coefficient arbitraire du terme simple, ou en être extrait, les développements des valeurs (lo) s’écriront ainsi :
ip=(c'— r v'‘-‘
Si l’on y remplace par — X* , f,' jiar y/p* — c*, les valeurs (i5), ainsi transformées en X et p, seront nécessairement les intégrales particulières, admissibles et correspondantes des équations ditTérentielles identiques ( 7 ). Il suffit donc de chercher la première qui devra reproiluire la seconde, à un facteur constant près, par le simple changement de X en p.
-Dans la transfirmée de P, le facteur (c*. — X'')"* sera rem-
a 56 LEÇONS
placé par X' 5 si les entiers n et Z ont la même parité, « — l étant pair, la parenthèse (multipliée, s’il est nécessaire, par — i) deviendra un polynôme à puissances paires de X,
complet et de degré
-alors P sera de la forme
mais si les entiers n et / sont de parités contraires, n — l étant impair, la parenthèse sera le produit du radical ± V^c* — X* par un polynôme à puissances paires de X,
complet et de degré ^ en X* ; et P aura cette autre
forme
(17) P = Ve’ — À’ +
Or si, remplaçant, dans la première (7), /t par «(« + 1), on cherche, pour l’un ou pour l’autre cas, quelle doit être la loi du coefficient ou h , , telle que le polynôme (16) ou (17) vérifie cette équation différentiel le, on trouve, par la méthode employée au § 1 65 ,
(n — 2.t -Hi)’ — P 2.ï(2/2 4-l — 1S) ’
et le coefficient du premier terme, c’est-à-dire X'» ou/r',, étant l’unité, celui du second sera
X, = — c’— 7 .5 ou X
An — ip— r
SUIl LES FOKCÏIOKS IJNVF.nSES, ETC.
celui du troisième
OU
Cl ainsi de suite. Et le polynôme se terminera au terme prévu, puis([ue A, (18) s’annule, rjuel que soitA,i quand
J = + 1 , ou puisque A'^ s’annule, quelque soit A'j
, n — / — I quand s = h i .
D’après cela, le groupe (i 5 ) transformé sera
"JZi
si n et l sont de même parité, ou si leur dilférence n — / est paire , et
I ( . îr±l 1
R=p'!p"-'— ^ ;c’p"-’4- . . +f.' (— c’) ’ pt ,
dans le cas contraire, ou si n — l est impair; f et f' étant les fractions terminales, faciles à trouver; X' et p' remplaçant les radicaux \/c- — X* et — c®; enfin le facteur \/ — 1 que le changement deX i>n p dans la première équation (20) introduit dans la seconde, étant renvoyé au coefficient arbitraire.
