BUT ET MARCHE

thermes dans la théorie analytique de la chaleur, et voulant traiter l’ellipsoîde à trois axes inégaux, j’ai rencontré le système des coordonnées elliptiques, formé par trois familles de surfaces isothermes du second ordre, homofocales et orthogonales. Or, dans ce système, les trois variétés des transcendantes elliptiques de première espèce expriment respectivement la température sur les trois familles considérées isolément, et les fonctions inverses des transcendantes sont les axes mêmes de ces surfaces. De plus, les nouvelles coordonnées m’ont conduit à un nouveau genre de développement en série d’une fonction donnée ; et les termes de la série sont les produits de polynômes, entiers et rationnels, de tous les degrés, formés par les fonctions inverses ou par les axes des surfaces conjuguées.

Cette application, qui a suivi de si près les découvertes théoriques, donne la définition la plus simple et la plus naturelle des transcendantes elliptiques de première espèce et de leurs fonctions inverses. Prise pour point de départ, et comme cadre d’étude, elle éclaircit singulièrement la théorie des nouvelles transcendantes, et même celle des anciennes. Elle conduit, sans difficulté et sans lacune, aux problèmes résolus par Euler, Abel, Jacobi, et ramène à l’unité les formules multiples de chaque solution. Enfin elle régularise l’emploi des coordonnées elliptiques, source