RAPPROCHEMENT DES DEUX ELLIPSOÏDES

En comparant les polynômes P et R, de l’une et l’autre forme appartenant aux deux systèmes d’ellipsoïdes de révolution , planétaire et ovaire, on voit : 1° que les polynômes Pont une composition directement identique, à l’aide du demi-axe polaire et du demi-axe équatorial , qui sont V et ). pour l’hyperboloïde de révolution à une nappe, v et v' pour

l’hyperboloïde de révolution à deux nappes; 2 " que les polynômes R ont une conipositiou indirectement identique, à l’aide de la demi-distance des pôles et du rayon de l’équateur, (jui sont ç,' et p pour l’ellip-soïde planétaire, p et p* pour l’ellipsoïde ovaire.

Si, comparant encore les deux systèmes, on rapproche les formes du groupe (P, R) par lesquelles l’identité est directe , et qui sont ( 19 ) ou ( 20 ), §176, pour l’ellipsoïde pl.iuétaire, (i3), §18(), poui’ rdlipsoïde ovaire; elles se distinguent en ce que rexpressiou est douhle dans le premier* cas et simple dans le second; mais cette distinction n’est qu’apparente. En effet, les val<;urs (i.3) peuvent être écrites d’une autre manière. Si l’entier /est pair, les facteurs des parenthèses sont rationnels, et multipliant par ces facteurs développés, P et R se présenteront sous la forme de polynômes identitjues de degré n , en v pour P, en p pour R (après avoir changé, s’il est nécessaire, le signe du premier polynôme). Mais , si l est impair, la fusion ne peut être complète , il restera en dehors les radicaux — v’ et ^ p' — c* qu’on remplacera par v' et p', et h>s parenthèses seront des polynômes identiques de degré (n — i) (avec ou sans changement de signe).

Les valeurs (i3) étant ainsi doublement exprimées, on peut dire que , dans les deux systèmes , la forme directement identique est, soit un polynôme de degré n dont la variable est le premier axe, c’est-à-dire/., ou v, ou p, soit un polynôme de degré // — I de la même variable multiplié par le second axe X', ou v', ou p', conséquence importante pour la recherche définitive qui fera l’objet de la leçon suivante.