C.VS ÜE L ellipsoïde A TROIS AXES
Exemple VH . — Le corps solide est un ellipsoïde, dont les trois axes inégaux sont r, r', r". Tous les points de sa surface ont des températures ûxes etdiverses. Il faut trouver une fonction V qui exprime la température des points situés à l’intérieur.
Si l’on prend
h — ck = vV’ — r'', c — r"-', <
dans les formules des §§ 80 et 148, il s’agira de déterminer une fonction V de (a , (3, y) ; i” qui vérifie l’équation aux différences partielles
rf’V rf-V
dans laquelle v, p , p , sont les fonctions
v=cA(a), (i = cA,(P),
ajS i.ecojvs
inverses des li aiiscendaiilcs
J l lit’
*~Jc
prises pour coordonnées : 2 ° el qui se réduise à unefonetioi» donnée F(a, |3) quand f> — r',' ou quand y atteint la valeur
dp
La fonction V étant composée d’une somme de termes simples, multipliés par des coefficients d’abord arbitraires, ebaque terme sera une fonction isotberme , que les exemples précédents autorisent à mettre sous la forme d’un produit, U = NiMR , le facteur N ne contenant que la variable « , M que/3,R que y. Ce produit étant substitué à V, l’équation (i) devient
R ~df
et doit être vérifiée. La fonction qui multiplie la différence (p* — P*) ne peut contenir que la variable a, celle qui multiplie (v* — P*) que /3, celle qui multiplie (p* — v’) que y. Or les trois différences, qui sont symétriques, sont telles, que leur somme est nulle, et qu’elles donnent encore une somme nulle en les ajoutant après les avoir respertivemenl mulpliées par v*,'p’, p*, c’est-à-dire que l’on a identiquement
(p’— P») -t- (v’ — P’) -t- (fi>— v’) = O, (pS (^3 p')p»p. (p’— v’)p2=:o,
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sim I.ES VOKCTlOîiS IJWEr.SF.S. ETi;.
d’où l’on i-oiiclul ridciilllé composée
(?’- ['< J -s) ^ ? - ft') =« >
/i et g étant deux coiislaiites r|uelcoiKjucs.
§ CXCIIl.
KQUATIONS DIFFÉHENTIEU.ES DES FACTEURS.
l/é(|uation (4) sEia donc vérifiée si l’on pose /,v=
é(]uations difierentielles qu’il s’agit d’intégrer.
Si l’on pose , pour simplifier,
elque l’on prenne resjieetivement pour variablesdes facteurs N, AI, R les paramètres géométriques v,g, p, les relations (3) donnant
JÎTVT d Ii/b'~ s/c^— 'j‘‘ —
d’N r, ’ rfv
rfo* rfv
dsjf-b^sjf^-c^ —
c‘ . — yp’ — yp’ — c’ - —
df " ~ dp
cl ces valeurs étant développée*, puis substituées dans les
n 8 o LEÇOHS
équations ( 6 ), préalablement multipliées par c*, on a, en changeant les signes de la seronde,
rf'IN f/N
(v' — -i- 17 ) — -t-(2ï’ — pv\— = (Av’ — ffc’) K ,
nv' ' ‘ il-j °
— ~ +(2fr’— y7fx)-^H = (Atr’ —
(p< — pp^+r,)~-h(2p^-pp}~ = (Ap= — gc']R,
équations différentielles identiques.
