CXCIV

- coïncidences ET PRÉVISIONS.

Si è était nul, les facteurs M et R étant ceux, P et R , de l’ellipsoïde planétaire, la seeonde et la troisième équation (^) deviendraient les équations différentielles ( 7 ) du § 173, par le changement de p en X et de g' en P, Si i> était égal à c, les faeteurs N et R étant ceux, P et R, de l’ellipsoïde ovaire, la première et la troisième équation ( 7 ) deviendraient les équations différentielles (7 bis) du § 183 , par le changement de ^ en A — Enfin si 5 et c étaient nuis à la fois, le facteur R étant celui de la sphère, la troisième équation ( 7 ) deviendrait l’équation différentielle ( 4 ) du § 163 , en faisant gp = 0 , et h = n (n -j-i). Ces coïncidences entre les équations différentielles entraînent celles de leurs intégrales admissibles.

D’après cela, comme pour les deux ellipsoïdes de révolution, les facteurs N, M, R pour l’ellipsoïde actuel se com- ^ poseront de la même manière, le premier en v, le second en p, le troisième en p. De plus , la constante h qui a toujours la môme forme [« (n -f-i) , où n entier] dans les trois cas particuliers et extrêmes de la sphère, de l’ellipsoïde plané-

StIR LES FONCTIONS INVF.RSES, ETC. 281

taire, de l’ellipsoïde ovaire, doit avoir cette forme dans le cas général, et la consianle gc*, qui a des valeurs différentes dans les trois premiers cas, reste seule à déterminer.

Ainsi , dans les équations (7 ) , la constante h est égale à « (rt H-i) , n étant un nombre entier. A chaque valeur de n doivent correspondre 2.11 -+-i fonctions isothermes de la formeU = ]NMR. Comme pour les ellipsoïdes de révolu-' lion , les facteurs N, M , R doivent être des fonctions algébriques, entières et rationnelles de degré n , des trois axes V, v', v" do l’hyperboloïde à une nappe pour N, p, p', p." de riiyperboloïde à deux nappes pour M,"p, p', p" de l’ellipsoïde pour R.

Conformément à la concordance signalée au § 188 , ces fonctions doivent être directement identiques, et chacune d’elles sera, soit un polynôme de degré n ayant pour variable le premier axe, soit un polynôme de degré n — i de la même variable, multiplié, ou par le second axe, ou par le troisième, soit enfin un polynôme de degré /i — -2, toujours de la même variable, multiplié par le produit des deux derniers axes; cette dernière catégorie complétant, comme on le verra, le groupe des 2 n -)- 1 fonctions isothermes. Il s’agit de constater que ces prévisions et ces analogies se réalisent sur tous les points.

§ cxcv.