MÉTHODE DE RECHERCHE. PREMIERS FACTEURS

D’après l’identité de forme des trois facteurs , il suffit de considérer un setil d’entre eux. Adoptons R; la troisième équation (7), en remplaçant h par n {n -h i) , et posant g'c’ = pz, est

(8) (f‘— — n(«-pi)p>]R=o.

Celle équalioh doit aduiclire des \aleuis pailiculières ayuiil la forme du polynôme

R = 0 " -tr / | 6"-

Cherchons quelle doit être la loi des coeflicieiils /, pour que ce polynôme (9), siibslilué dans l’équation (8), la rende identique. Faisant cette substitution, on reconnaît d’abord que le premier terme, qui est eu p""''*, disparait de luimôme d’après la valeur choisie pour /i, et on trouve sans peineque les termes contenant p avec l’exposant (« — 2 i-|- 2 ) SC réunissent avec le coefïicient

Egalant cctle somme à zéro, on aura

pour la loi cherchée.

On déduit de cette loi , en faisant successivement 5 = 1 ,

dans l’équation (

et observant que A'o

= I et

que )

t i, At j,

n’existent pas, les

; relations suivantes :

Z)kt = p{z —

2)’]Ai -t-7.n(/J — i),

^y\k, + q.(n—ll){n-

La première donnei-a A', ([ui sera du premier degré en z j cette valeur, substituée dans la seconde relation donnera A'» qui sera du second degré en ces deux premières valeur.s , substituées dans la troisième relation, donneront Aj qui

SUR LES l-OSCÏIONS INVERSES, ETC. 283

scia du troisième degré en ;; ; et ainsi de suite. Tout coefficient h, sera donc du degré s en z.

Mais la série (9) doit être essentiellement limitée ; il faut donc que les coefficients h, s'annulent tous à partir d’une certaine valeur de s. Cela aura lieu, si l’on peut faire en sorte que deux coefficients consécutifs soient nuis, car, en vertu de la loi (to), si A,, et Aj, sont nuis. A, le sera, ainsi que tous ceux qui le suivent; ce qui donne deux conditions à remplir, et l’on ne peut disposer pour cela que d’une seule indéterminée qui est z. Or la relation (10), qui est à trois termes, se réduit à deux termes seulement quand s égalcj ou

— ^ OU puisque alors le dernier terme du second

membre s’annule, quel que soit A,, ; l’une de ces deux valeurs de est entière, ce sera la première si l’entier n est pair, la seconde s’il est impair. ■'

Dans l’un ou dans l’autre cas, soit a la valeur entière de s qui jouit de la propriété de faire disparaître le coefficient de Aj s, dans l’écjuation générale (10) ; cette relation donnera alors A, en A,, seulement, et il suffira que soit nul , pour que A, le soit. Posant donc Av j = o, on aura une équation du degré a — i en 2 , et l’une quelconque des racines de cette équation jouira de la propriété de limiter le polynôme (9) à un nombre <7 — t de termes. 11 sera démontré que toutes les racines de l’équation A'j i = o sont réelles. 9

Lorsque n est pair et égal a 2t^ a =: — ^ = i H- 2 , et

<7 — I = f -I- 1 ; l’équation en z est du degré t -4- i ; le polynôme (9) ne contient que des puissances paires, et son dernier terme A,- est constant. Lorsque n est impair, et égal

a 27 -t- I , (7 = — - — = 7-f-2,et(7 — t = lequation

en z est du degré y -4- i ; le polynôme (9) ne contient que des puissances impaires, et son dernier terme est A/p.

j,k«;ü.ns

§ CXCVl.

DEUXIÈMES FACTEUUS.

L’équalioti diilerenliclle (8) doit admettre des valeurs particulières ayant la forme

où est • .

On obtient l’équation différentielle que le polynôme A doit vérifier, en remplaçant, dans l’équation (8), RP®*’ \/p* — 6*. A,

‘ ce qui donne, par des calculs et des réductions faciles ,

ci^ “R (iSi,

Substituant le polynôme A, on constate d’abord que le premier terme, qui est en p"’’"*, disparaît de lui-mème; réunissant ensuite les termes en p'*~”+‘, et égalant leur coefficient total à zéro, on a

I P [2 — ( 71 — 34- — l)’]— c=( 2 /j — 42 -+- 3) jx;,

pour la loi des coefficients qui donnera une suite de relations semblables à celles du tableau (i i), et d’oii l’on conclura pareillement que A' est du degré 2 en s.