TROISIÈMES ET QUATRIÈMES FACTEURS

L’équation différentielle ( 8 ) doit pareillement admettre des valeurs particulières ayant la forme

(i4) R = p" A = \jf - -I- -I- p-* H- . . . ).

On reconnaît, comme pour la forme (12) et par le simple

a86 LEÇONS

changement de en c et dc’c en b , qu'il existera i valeurs de cette forme quand n = 21, / -f- i quand n = 2/ -t- i , et que ces valeurs correspondront aux racines, en même nombre, d’une troisième équation eu z, A"», = o, différente des deux premières.

Enfin l’équation différentielle (8) admet encore des valeurs de la forme

(i5) Rrrp'r/'T,

où T est

On obtient l’équation différentielle que le polynôme T doit

vérifier eu remplaçant, dans l’équation (8), R par Icjtroduit

y'p» — b' — c’T, ce ([ui donne

tl'T rfT

Substituant le polynôme T, on constate la disparition du premier terme, et réunissant les termes en ou arrive

A la loi des coeffieients

d’où une nouvelle suite de relations donnant h, du degré s en Z.

La Innitation du polynôme T s’obtient en donnant à s, dans l'équation (16), la valeurG égale à — - — sinestpgir,

, fl I . . • «

a — - — SI n est impair, et en prenant pour z ime que!conque des racines de l’équation = o, différente des

■ Digilized.b

sur. LES FOiS'CTlOïiS INVERSES, ETC. a8“

trois équations précédeminent obtenues. Lorsque n = ii,

E = — - — = / -f- 1 et <3 — I = < , celle quatrième équation

est de degré /; le polynôme T est à puissances paires et son dernier terme A,, est constant. Lorsque n = aji + i,

c» I . . Il / . 11

x: — — ^ l J (5 — I — I équation en z est de de-

gré/; le polynôme T esta puissances impaires et son dernier terme est

En résumé , quand l’entier n est pair et égal «à ai , le facteur Il peut avoir / i valeurs de la forme (9), et t de chacune des trois formes (12), (14) et (i 5 ) , en tout 4^+ t ou 2« -t- I ; quand n est impair et égal à a/-f- r, le facteur Il peut avoir/ -|- i valeurs de chacune des trois formes (9) , (i 2) et (i 4 ), et seulement / de la forme (i 5 ), en tout 4 / - 1 - 3 , ou encore Les prévisions du § 194 sont donc

justiliées : pour chaque valeur de l’entier n, il existe a/t-f-i fonctions isothermes U=]NMR, où les facteurs N, M, R ont les formes indiquées dans ce paragraphe.

'§ CXCVIll.