BA.U“-‘>4-C=B

dK ’ dk ’

BC — (B’+C^A „a.< +B^ c^ - .

Quand « = ci, le facteur B annule N dans la seconde et la

quatrième formes , ^ dans la première et la troisième;

quand a = o, le facteur A annule N dans la seconde et la

troisième formes, ^ dans les deux autres , si l’entier n est aa

pair; l’inverse a lieu si n est impair. Pour la fonction M , puisque Bi (o) = o, et que C, (o') = o, la propriété énoncée est pareillement constatée par ce second tableau :

rfM

» oA,

B.C,xf'"'’\

Aux deux limites, le facteur B, C, annule M dans la qua-

SI, Il LES VOÏiCTIO>S I.NVKliSES, ETC.

Il ièiiic loMiie, et dans la pieinièio; i|iiand j3 = o, le

fadeur Bi annule M dans la seconde forme et dans la * rfK

troisième; ijuand |3 = cr', le facteur C, annule M dans la Irciisièine forme et dans la seconde.

IJ’après le leinmc qui précède, si l’on désigne par iV ei ou par M et M', deux facteurs dillércnls M ou M, appartenant à la même forme et .à deux valeurs de n de même pa-

nie , 1 expression N — INi - 7 — 1 5 ou | M M — U

\ ti a ' (la / \ dp dp j

s'évanouii a aux deux limites /.éi'o et 13 ou et', de « ou de j3.

§ CCIIl.

RKALITÉ DES RACl.N'ES z.

Dans ce théorème, les facteurs N et IS', ou M et Al', peuvent a[>parlenir h la même valeur de n et correspondre à des racines différentes de la même équation en z. De Là résulte nécessairement que toutes les racines des équations en Z sont réelles. En cllet , supposons qu’une quelconque de CCS équations ait une racine égale à ^ -f- — * » C

étant réels, le facteur N correspondant sera de la forme — Il ^ et étant de nouveaux polynômes en (A, B, C) dont les coefficients sont réels. Alais l’existence de la racine ^ -f- V — i exige celle de sa conjuguée Ç \J — I, car les coefficients de toutes les équations eu z

sont essentiellement réels; à cette seconde racine correspondra un nouveau facteur N' égal à Dt — 0 C.' \j — i . Si l’on substitue les deux valeurs 3C. -+- yU \j — i et — X'\/ — i à

]\ Cl N dans 1 expression I IV — ' ^ ) ‘1'^' ® évanouit

2y6 LEVONS

aux deux limiles de a , elle devient

fia.

d’où il suit que l’expression — X ^ doit aussi

être nulle pour a = o et pour a — cr.

Cela posé, la valeur N = X + X' — « doit vérifier la première équation diirérentielle (6), où l’on remplacera

d’abord h par n (« -+- 1 ) , ^ par A, g par ^ == (H- A*) z, pour y poser ensuite z = ^ ^ — i ; on doit doue avoir

da‘

changeant le signe de — t, on aura l’équation que doit vérifier IS', et ajoutant, puis retranchant les deux équations, il viendra séparément

■rf'X

=["("+«) A’- (H-X’)Ç]X + (i+A>)Ç' X', =[«(«+i)A’-(i-+.A>)ÇjX'-(i+A’)Ç'Xj

d’où l’on conclut par l’élimination du binôme en A*

,rf’X

da}

(i 4-A’)Ç'(X’+ Ot,'’).

Or, si l’on multiplie cette équation parr/a, et qu’ou intègre entre a == o et a = cj, le premier membre s’évanouira, car son intégrale indéfinie (X'— — X^^^^

\ du dix )

est nulle aux deux limites, comme on vient de l’établir, on

aurnit donc

X ts

condilîoii impossible, si n’est pas zéro, car l’intégrale déCnie, dont les éléments sont essentiellement positifs , ne saurait être nulle. Ainsi les équations en z n’ont pas de racines imaginaires.