ISOLEMENT DES SÉRIES PARTIELLES

On peut isoler chacune des séries partielles (aS), de la manière suivante t ^ une fonction de ot et(3,

donnant aux variables des valeurs positives, comprises entre o et ro pour a, entre o et cf pour |3 , soit posé

Si # est F , ou .d , les F, , ou les J, , représentent les températures fixes aux différents points des quatre triangles curvilignes, découpés sur la surface de l’hémi-ellipsoïde supérieur, ou inférieur, par les plans des sections principales i températures qui sont directement données en fonction des valeurs absolues des paramètres tbermométriques « et (3. Si i est f, ou y, les f,-, ou Icsy, seront respectivement les

demi-sommes — '-^1 ou les demi -différences '» de

ces températures fixes et données.

3ül) 1.EV0^S

Si l’on considère inainicnnni la fonclion connue étant < oinposéc de quatre parties : la première paire en « et en (3, la seconde paire en a impaire en |3, la troisième impaire en a paire en (5, enfin la quatrième impaire en ce et en |3 ; ces quatre parties , exprimées par les ( 24 ) seront

^ I d“ ^ I — fïj — ^ i

fl -J

■ âi

Si ^ est f ou y, ces expressions ( aS ) seront les quatre parties de la fonction f, ouf, et il suffira que les quatre séries partielles de la première ligne (aS) , ou de la seconde, soient respectivement égales à ces expressions, entre les limites , O et CI de « , o et a' de j3, pour que leur somme soit le développement de la fonction f(a, (3), ouf (se, (3).

La détermination de la série générale V (ao) est ainsi ramenée à celle des coefficients de huit développements de la forme

où le premier membre est l’une quelconque des séries partielles (a3) ; chaque produit n 'étant remplacé par ses deux facteurs, N en a, M en (3 j le double indice, donné au coefficient F, indiquant la valeur de n, et la racine z, qui particularisent le terme que multiplie re coefficient; le premier sigma embrassant tous les entiers pairs, ou tous les entiers impairs, compris entre zéro cl l'infini; le sigma su-

SUR l.ES rOKC.TIONS INVERSES, ETC. 3oi

boi'iloniié coDiprcnaiil un nombre limité tie lermo.s, égal au degré d'une seule des (jiialrc équations eu s qui eorrespoiideiU à chaque valeur de u.

§ CCVII.

ï 1 1 É O R t M lî F 0 N n A M F, N T .A L .

Dans le développement partiel ( 26’) , quel qu’il soit parmi les huit, tous les groupes NM, ainsi que la fonction 0 , ont la même parité en a, et la même parité en /3 ; la propriété signalée à la fin du § 202, est donc applicable à deux facteurs quelcompies N et I\ ', ou M et M', pris au hasard dans les termes du premier membre. De là résulte un théorème général, applicable aux huit développements partiels, et que l’on peut démontrer, sans spécifier celui d'entre eux que désigne ré*quation (26).

Soient NMet N'M', deux termes dillérents de la série (26). n et«', les valeurs de l’entier n, rets', celles de la constante Z qui leur correspondent ; les polynômes N, M , N', M', vérifieront les quatre équations dift'érentielles