I -H 3' - «'(«'4- 1 ) -AÎ ] M
données par le»’ deux premières (fi), et d’où l'on conclut
3oa
iafilcnienl
(i -t- / ')(z — z') NN' — [«(« 4- i) — n' («' -f- i)] A’NN',
[«{« + i) — n'( n' + i)] A{ MM' — (i -H ^')(2 — ^') MM'.
Or si l’on multiplie respectivement ces deux équations par " da, f/] 3 , et qu’on intègre entre les limites, o et cr de a , o et üs' de j 3 , les premiers membres , dont les intégrales in-
/„rfM' „,rfM'
definies sont ( b— N ) j ( ^
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nouissent aux limites, § 202, et l’on a
5 s eva -
r°A’NN'f/a
Jo
z={i^Â^){z~z') r^^NN^/a,
Jq
(,h-X2)(z— z') f mi'd^
Jo
= [«(/! + r A]MMVp
Si aucun des deux facteurs [«(m-4-i) — n' +
[z — z'), n’est nul, multipliantjrune par l’autre les deujt équations {27), membre à membre, réunissant ensuite les deux intégrales doubles dans le même membre, et divisant par le produit (i-f-Â’)[n (n -i-i) — n' {«'-(-1)] (= — z'), qui n’est pas nul par hypotbèse, on aura
(a8) r° r ” (AJ— A’)MNM'N'f/arfp = o.
Jo Jo
Si n' = n (n -|-i) , sans que (z — z') soit nul ,
SIM\ l.ES FttNCTIONS INVERSES, ETC.
les é<[ualiüiis (9.7) duniieul
I NN^/a=:o, / MM'r/p = o,
d’où l’on conclut 1 identité
(29) f m'r/a. f A^MMVfi— I MlMVp. / A»NN'f/a; t,'o «/o «/O */o
c’est-à-dire encore l’équalion (aSj.Knfin, s’il peutarriver ([ucs'=3 sans <[iic soit nul
(«■’est-à-dire i|ue les équations en z, coiTcspondant à des valeurs diirérentes de «, aient des racines communes), les éi|uations (27) donneront
A’NIN'da = o, j ° A] mi',/p = o,
d'où l’on conclut encore l’identité (ay) , ou l’équation (a8).
Ainsi , excepté dans le cas où n‘— , et z' =z », à la
fois, l’équation (28) a lieu.
§ CCVlll.
DÉVELOPPEMENT PAUTIEL.
Le théorème important (28) permet d’isoler chaque coellicient du développement (26) : 011 multipliera cette
équation (26) par le facteur (A) — A*) MiN dx , et intégrant entre les limites o et u de a, o et 13' de [ 3 , tous les termes du premier membre disparaîtront, d’après le théorème (28), à l’exception de celui qui correspond à l’entier ii et à la racine z que l’on a choisis, et l’on aura
f" /’"<î.(a,p) (a;— A’)NM rfarf(î («) ' O *0
r" / A’)N>MV/ac/fl
3o4 leçoss
Tiaiisporlaiil aux facteurs 1 \ et M les indices de la con- . j
slanle, indiquant les variables et remplaçant a par 0, (3 par sous les intégrales délînies, on aura
f" /"<i>(0 ,» [a; (^)- A’( 9)] Nf’ (9) (•» dedJ,
■ yC) “ O
Cl avec cctic valeur, la double série (26), mise sous la forme
donnera le développement de l’iinc quelconque des rjualre parties de la fonction f («, ( 5 ) ou /(a, / 3 ) (ad), à l’aide des fonctions inverses des transcendantes oc et | 3 . Les facteurs ]\, M, de chaque terme de la série ( 3 i) sont deux polynômes do degré 7/, .composés de la même manière, le premier en (A, B, C), le second en (A,, B,, C, ), sous runc des formes (18), la même pour tous les termes. Le sigma principal embrasse tous les entiers pairs ou tous les eutiers impairs ( ompris entre zéro et l’infini. Les indices du sigma subordonné supposent que, pour chaque valeur de n, les 7 z'-t-i racines, toutes réelles, et rangées par ordre de grandeur, de la seule des quatre équations en z qui soit emploj'ée, sont désignées par ^o) ^i, «î, ils indi-
quent que ce sigma comprend les 7 j'-t- i termes correspondants à ces racines; l’entier n' prend les huit valeurs « n I « I 7< 2 72 I 72 2 72 2 72 3
— > 9 J , et 9 9 ) — - - — ,
(piand la formule ( 3 i) est successivement appliquée aux séries partielles de f(5:, ( 3 ), et à celles dey (sc , { 5 ) ( 23 ).
§ eCTX.
