SECONDE FORME DE LA SOLUTION

Cette première forme de la solution complète du problème proposé a l’avantage de montrer de quelle manière se compose, avec les températures données, chacune des huit séries partielles de la fonction V ^20 mais on peut donner à cette solution une seconde forme plus concise , et qui la rapproche de celle de la sphere. Les éléments des intégrales doubles qui composent le coefficient P“’(3o) sont des fonctions paires en a et en /3 ; on peut donc étendre les limites des deux intégrations de — ta à -f- ct, de — ra' à -I- c', ce qui ne fera que quadrupler à la fois le numérateur et le dénominateur. Alors on pourra ajouter a qui est une des quatre parties (sS) de f ou dey', les trois autres parties dè la même fonction ; car elles disparaîtront d elles-mêmes

3o6 I Eçojis

par la double inlégratiun , comme ii’ajoiUaiU à rélémciit <jue des fondions impaires, soit On a , soit en /3, soit en a cl

cil (3. De là résultera que le coefficient aura la même

forme pour les quatre développenùcnts partiels (a^) de la même fonction f(a, jS) on /"(a, |3). On est ainsi conduit è la solution suivante :

Conservant les lettres N, M pour désigner les facteurs des ^leux* premières formes (i8), soient représentés par 3K.' ceux des deux dernières, quelle que soit d’ailleurs la parité de l’entier n; les développements (a3) s'é<'riront ainsi :

les valeurs générales des coefficients seront

I f(a,p){A;— A>)NM^/a

a' •/— cr

/ / (A; — A*)N’MV/ar/p

f °/(a, p)(A^ -A») ataUrfarfp

y-,(ri) •/ — ct' J — rs

I I (A’ — A')3î,’0n.‘rfarfp

et, si l’on désigne par R et •'ft., les facteurs en y conjugués de ceux N et X en or, M et 3TL en (3, la fonction cherchée V

JD’^tized i .. ' J;li

Sin LES lONCTIONS INVEnsRS, ETC,

prendra la foi inc

où les deux sigmas subordonnés se partagent les 2 «-|-i ,

fonctions isothermes, correspondant à toute valeur de « ; chacun d’eux employant les racines de deux des quatre équations en z.