CCXII

PKOIMUÉTÉS CARACTÉUlSTiyUKS.

L’objet de cette dernière leçon est de signaler les propriétés caractéristiques et distinctives des développements en séries appartenant au système ellipsoïdal. Voici d’abord la plus remarquable.

Si l’on rapproche les formules { 20 ) du § 167, qui expriment les coefficients généraux des développements en séries^ relatifs à la sphère et aux ellipsoïdes de révolution, des formules (33) du § 210, qui donnent les coefficients des séries relatives à l’ellipsoïde à trois axes; on remarque que dans les premières le dénominateur est le produit de deux intégrales définies simples, qui sont Wj, c’est-à-dire tt ou

et p)*Mont la valeur (3i), §171, est un produit de fractions numériques; que dans les secondes le dénominateur est exprimé par une intégrale définie double, qui n’est pas le produit de deux intégrales définies simples. Tout porterait à penser que l’intégrale double, dont il s’agit, doit s’exprimer à l’aide des deux nombres us et ta', au lieu de tt. Or il n’en est pas ainsi ; car, comme ou va le voir, le nouveau dénominateur n’introduit aucun nouveau nombre transcendant ; il est définitivement égal à n , multiplié par une fonction rationnelle et entière du module A et d’une des racines s. Cette forme impi'évue, ce retour inespéré au seul

3 I O LEÇOKS

numbre z, celle espèce de refus d’amener de nouvelles complicalions , conslitucnl Je caraclère le plus important de la solution générale qui nous occujje.

§ CCXIII.