FORMULES DE RÉDUCTION IDENTIQUES
Soit proposé d’évaluer l’intégrale définie double
dans laquelle et sont des polynômes identiques, l’un en A*, l’autre en A|. Le produit AA, Aj est une fonction isotherme du système ellipsoïdal, laquelle correspond à n =1 et à la racine a = i ; substituant ces valeurs de n et z, et remplaçant N par A, M par A, dans les premières formules du § 207, il vient
-ip-
: (i-t-/’) A, — aAj,
équations différentielles dont l’établissement direct est d’ailleurs facile. Maintenant, /étant un entier positif quelconque, multiplions respectivement les équations (a) par
A*'+‘ fia, et par A’’"’'' fi (3; intégrons entre les limites, o
et ta de a , et o et ta' de /3 ; les premiers membres seront , à l’aide de l’intégration par parties, •
' iitted I 1 k
sm LliS I-ONCTIOIVS VERSES, ETC. 3îl
Or on a , d’après les tableaux (5) et (6) dù § 37,
d’où il suit que les parties iutégi'ées des expressions (3) s’évanouissent aux limites des intégrations : la première,
[)our ce — O par A , et pour a = tes par B fac:teur de ’
la seeonde, pour |3= o par B,, et pour (3 = et' par C,, tous
deux facteurs de Substituant alors sous les intégrales
définies (3) les valeurs (4) des carrés des dérivées; égalant aux intégrales des seconds membres (a), et réunissant, on a, entre o et ci pour «, entre o et c' pour ^ ,
-4-/‘’) sri '■/ A”rfa,
f ’-TTî*'/
formules de réduction identiques.
§ eexiv.
FOUMÜLES GÉNÉRALES D'INTÉGRATION.
Avec ces formules (5), si l’on pose
CT
= / Ajf/p = w',
3ia
on aura d’abord, pour i = o,
J' A* da — — -X’. CT,
J' AJ<Xp = -(i 4- X’).w' — jX’.o',
puis, faisant successivement «== i, a, 3,..., et substituant à chaque fois, dans les seconds membres, les résultats précédemment obtenus, on arrivera toujours à des couples de valeurs ayant la fornie
A’/ da = g .oi — /t.u ,
= g. cr', , .
où , 1 entier j étant le même dans les deux équations , ^ et A seront les mêmes fonctions entières de A’.
Par ce premier théorème, et d’après l’identité de forme des polynômes X et A., , on aura
\iy
I J* ^ ^ ^ G.o>' — H . tu'.
car les premiers membres seront des sommes identiques, ou avec les mêmes coefficients, d’une suite d’intégrales définies des formes conjuguées (7); et G, H seronHes mêmes fonctions de A* et des coefficients des (X, X,), dans les deux
«({uations ( 8 ). On aura pareillement
A' A, (la =^Ç.u — 5 . 01 )
A:=.l,,rfp = Ç.<-'-5.o';
(J et 5 étant d’autres fonctrons entières de A:’ et des coefficients des (,. 1 ,, A,,), qui seront encore les mêmes dans ces deux équations ( 9 ).
§ ccxv.
