DISPARITION DES NOMBRES TRANSCENDANTS

Or, si l’on retranche du produit de la seconde ( 9 ) par la première ( 8 ), le produit de la seconde ( 8 ) par la première ( 9 ) , il vient

'"(a; — A’) .UA, dp = (5G — ÇH)

et puisque

ta' a — J' J' (Aj — A’)dadp = — »

d’après le § 104, on peut écrire pins simplement

(10) f° r°(A] - A=).AJt„dadp = 7 r.r,

Jo J 0

r étant une fonction entière de A* et des coefficients des polynômes ( A. , A , ) .

Sous les intégrales doubles qui servent de dénominateurs aux valeurs ( 33 ) du § 210, les produits N* M*, 9R.* ont,

3l4 LEÇOINS

dans tous les cas, la forme supposée du produit XA.,. Doue chacun de ces déiiouûhateurs sera, d’après la formule (lo), le produit de n par une fonction entière du module k et d’une racine z. C’est ce qu’il fallait démontrer.

Ainsi, par la doiuble intégration et par la forme du facteur (A* — A’) dad^, le dénominateur du coefficient général, dans le développement en série appartenant au système ellipsoïdal , se trouve dégagé , non-seulement des nombres transcendants t? et ta', mais aussi des autres nopibres (i> et o>' (6), qui appartiennent aux transcendantes elliptiques de seconde espèce. Fait analytique très-digne d’étre signalé, et qui pourrait, A lui seul, expliquer la forme essentielle de la solution trouvée. '

§ CCXYl. ,•

LIMITES DES COORDONNÉES (a, P, 7).

Le but principal des dernières leçons était de constater que les fonctions inverses (A,, B,-, C,) jouissent de la'pro- v pricté de composer des séries capables de représenter des fonctions données, aussi bien que les sinus et cosinus. Ce but est atteint et même dépassé, car il eût suffi d’établir une seule de ces séries nouvelles. On pouvait supposer, par exemple, que les températures fixes à la surface de l’ellipsoïde étaient distribuées symétriquement, et de la même manière, sur les buit triangles curvilignes découpés par les plans orthogonaux des sections principales. Ce qui eût réduit la fonction V ( 20 ) du § 204 à sa première série partielle, et le développement (3 1 ) du § 208 à celui de la fonction paire en « et en |3, représentant à elle seule toutes les tem- ' pératures données. Mais en restreignant ainsi la question posée dans le dernier exemple, comme dans le troisième concernant le prisme rectangle, on passait sous silence une '

SUU LES FOKCTlüBS INVERSES, ETC. 3l5

circonstance remarquable que présente l’emploi des coordonnées thermomélriques (a, (3, y).

Quand il s’agit de la sphère ou des ellipsoïdes de révolution, en faisant varier l’angle azimutal des plans méridiens de o à a ît , et de — i à -+- 1 , on atteint tous les points de la surface du corps sans faire intervenir la troisième coordonnée. Quand il s’agit de l’ellipsoïde à trois axes, les limites naturelles des coordonnées, qui suffisent pour assigner tous les points de l’espace, sont — cj et -t- cy pour a , — cr’ et -4- cr' pour |3, — cj et ra pour y. Faut - il troubler cette symétrie, qui s’accorde si bien avec celle des fonctio'hs inverses et celle des fonctions isothermes, afin de pouvoir représenter tous les points de la surface du corps à l’aide de deux coordonnées seulement, en faisant varier a de o à 4 CT et |3 de — cr' à -H cr', ou bien de — o à -|- u et (3 de o à 4 ci', et n’admettant que des valeurs positives de y? Alors lequel choisir des paramètres a et |3 pour l’assimiler à la longitude?

Il était utile de montrer comment on évite ce trouble et ce choix embarrassant : les §§ 205 et 206 dévdoppent la méthode qu’il faut employer pour cela. Il est d’ailleurs évident que si l’on adoptait une autre méthode ou d’autres limites des variables, lors des doubles intégrations, les valeurs numériques des coefficients seraient identiquement les mêmes; car, quoiqu’il soit, le procédé d’élimination qu’on emploie pour isoler chaque coefficient ne peut altérer la seule fonction V qui remplira toutes les conditions imposées.

Si l’on considère les variables dans cette fonction môme, on remarque d’abord que la valeur absolue de y, paramètre des ellipsoïdes isothermes, ne peut dépasser y» qui appartient à la surface du corps , autrement la série V deviemlrait divergente. Quant aux paramètres « et/3, ils n’ont pas de limites

nécessaires; mais s’il arrive qu’une suite de valeurs don* nées à l’une de ces deux variables répondent au même .point du solide, il faut que la fonction V soit la même pour toutes. Or le système des coordonnés thermométriques (a, (3, y) est tel, qu’on revient aux mêmes points en augmentant a de 4 w ou /3 de 4 c/, on pouvait donc prévoir que ces variables n’entreraient dans V que sous les fonctions inverses ( A , B, C), (A,, B,, C,).