I CC,C

et les A’ étant les trois racines de l’équation

"qui est, en la développant

Digilizûb by Cà,^OgIe

Si:i\ 1.ES FONCTIONS INVF.RSF.S, ETC. .liy

OU a les relations connues

I A’ -t- AJ A’

Aj Aj-(-AjA’+A’AJ A’AJ AJ

d'où résulte, comme l’on sait, que toute fonction symétrique S de (A*, AJ , AJ) sera exprimable algébriijuement à l’aide des seconds membres des équations précédentes.

Or, en supprimant les facteurs constants , les quatre formes ( 17 ), § 198, des fonctions isothermes du .système ellipsoïdal, exprimées en a), seront, d’après Ips rela-

tions (il) ; la première une fonction .f, multipliée par j: ' si n est impair, par l’unité s’il est pair; la seconde une fonction .f, multipliée par xy si n est pair, par y seul s’il est impair; la troisième une fonction .f, multipliée par si n est pair, par z seul s’il est impair; cniln,la quatrième une fonction ^ multipliée par 3Cyz si n est impair, parj^z seulement s’il est pair. Toutes ces fonctions isothermes seront donc algébriques en (x, y, z), et de plus rationnelles et entières.

Ainsi, dans le système des coordonnées ellipsoïdales et tbérmométriques (a, (3, y), qui sont transcendantes, les fonctions isothermes s’expriment algébriquement; et, dans le système des coordonnées rectilignes et thennométriques (x,y, z), qui sont algébriques, Icsibnctions isothermes sont transcendantes. Cette réciprocité n’est-ellc que curieuse ? Ne serait-elle pas l’indice d’une loi générale ? Quoi qu’il en soit, elle sépare très-nettement les développements en séries appartenant aux systèmes ellipsoïdaux, y compris la sphère et les ellipsoïdes de révolution, de ceux qui concernent le prisme rectangle, et les polyèdres en général.

II existe une autre différence caractéristique, entre ces deux classes de développements en séries. Dans celle qui provient du prisme rectangle, il n’y a réellement que des développements simples ou d’une seule variable, qui, par leur superposition, soit successive dans un ordre indifférent, soit simultanée, conduisent aux développements des fonctions de plusieurs variables , comme on l’a vu dans l’exemple ni. Le théorème fondamental (9), § ISS, qui suffit à tous, consiste en ce que, X et étant des facteurs .d’une Seule variable, pris dans deux fonctions isothermes différentes, leur produit, multiplié par la différentielle de la variable, ou par l'élément linéaire, puis intégré entre les limites de cette variable, donne une intégrale définie simple, qui est identiquement nulle.

Dans la classe provenant de l’ellipsoïde à trois axes, les développements sont essentiellement à deux variables * et/3. Le théorème fondamental consiste en ce que, NM et N' M' étant les produits partiels des facteurs en o et en (3, pris dans deux fonctions isothermes différentes , leur produit total , multiplié par (AJ — A’) , ou par l’élément de

surface de la sphère de rayon i, § 104 , puis intégré entre les limite? des deux variables, donne une intégrale définie double, qui est identiquement nulle.