IX

PARABOLOIDES DE RÉVOLUTION.

Exemple lE. — L’équation y* z'^ = l'kx -{-"k* représente une famille de paraboloïdes de révolution homo-

focaux. On déduit de cette équation (en suivant la même

marche que dans l’exemple I, et observant que

^ dz dz‘

ne sont plus nuis) , d’abord, par première différentiation ,

d’où l’on conclut successivement

(-+À)s(gy=2x,

^/d\y rfx

puis , par seconde différentiation ,

, ,,rf>x jdyy

, ,^dn fdiy

ce qui donne délinitivement

rfX ^ dx

du?

dn

du'

Ksy

et les paraboloides sont isolliermes. Posant alors - = - ’

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SLR LES FOXCTIOHS INTERSES, ETC. 11

OU y = il vient, comme dans l’exemple précédent,

e = J ' et ?. = rte' ; en sorte que la famille des parabo-

loïdes de révolution, homofocaux et isothermes, a pour équation

z‘ — ae- (ae‘ + ?.x)-

Scolie. — Dans le groupe des sphères concentriques, et des cylindres à base circulaire, le rayon des sphères s’exprime algébriquement en e, celui des cylindres par une fonction transcendante. Au contraire, dans le groupe des paraboloïdes de révolution et des cylindres paraboli- (jues, le paramètre géométrique des cylindres est algébrique en e, tandis que celui des paraboloïdes s’exprime par une fonction u-anscendanle , qui est d’ailleurs la même que celle du premier groupe. Cette remarque n’est-ellc que curieuse? Ne servirait-elle pas à caractériser l'analogie et la dillérence qui existent entre les deux courbes les plus simples, et en même temps les plus naturelles, le cercle et la parabole?