CYLINDRES ELLIPTIQUES ET HYPERBOLIQUES

Exemple V. — L’équation — ‘ représente

une famille de cylindres homofocaux du second degré, elliptiques si X surpasse la constante c, hyperboliques si i est moindre que c. Désignant, pour simplifier,

I a I.EÇOWS

on a , par première dillèrentialiou ,

djr dy‘ X’ — c*

dz

d’où Ton conclut successivement

' -nS)'='‘

il vient, par seconde dillérentiation,

H - 4VG () + ^

te j " ^ te) ^ (“-c'y Ty = ’

ce qui donne, après sommation et réduction ,

XUS

du} V — c’

di} X

V du }

du

et les surfaces sont isothermes. Posant - = , il est

nécessaire de séparer les deux cas de ^ > c, et de X c. '

Si X surpasse c, on aura

Je s/X’-c’

et 1 équation des cylindres elliptiques, honiofocaux et

SUll LE5 FONCTIOrfS INVERSES, ETC. 10

isoiliermes , est ,

Si X est inférieur .î c , on pourra prendre

r, — T-, r dl

Jx \/c’ — >’

X = ccose, \/c’ — X’ = csine;

et l’équation des cylindres hyperboliques, hoinofocaux et isothermes, sera

ros's sin’E

Dans le premier cas, celui des cylindres elliptiques, il convient d’introduire une notation commode qui consiste à représenter

pa'- E(«). - -par £{«),

E (s) est ce qu’on appelle le cosinu.'i hyperbolique des; é’ (e) est le sinus ■ hyperbolique de la même variable; ces deux fonctions sont liées l’une à l’autre par l’équation

Avec cette notation , on écrit ainsi

ÎT^

l’équation des cylindres elliptiques isothermes.