DÉFINITION DES FONCTIONS INVERSES

Dans toute recherche du paramètre tbermométrique, il importe, comme nous l’avons fait aux exemples précédents, de disposer la constante amenée par l’intégration de de

telle

sorte que J'—z=e soit un nombre , un simple rap-

port, dont le degré géométrique soit zéro, afin que ce nombre puisse servir à exprimer une température. En outre, il convient d’égaler le paramètre géométrique, ou la ligne à une autre ligne ronstaiite (a ou c), multipliée par une fonetion de s, F (e) , qui ne soit elle-même qu’un rapport. De cette manière, riiomogénéité de l’équation, représentant la famille de surfaces qu’on étudie , ne sera pas troublée par l’introdurtion du paramètre thermométrique.

Le groupe d’équations e =

c F (e) , est , en

réalité, le but final des recherches actuelles. Lorsque l’intégrale e est transcendanic, F (s) est ce qu’on appelle /a fonclion im'erse de la transcendante e. Celte dénomination doit être généralisée. Si la famille de surfaces que l’on traite présente plusieurs paramètres géométriques conjugués, X, X', X",..., tous nécessaires pour la complète définition de chaque surface, il importe d’exprimer séparément chacun d’eux à l’aide du paramètre lhermomé trique; on a alors

> = cF(0, X' = c^(s), X"=cf(.)

etF (e) , ^ {t) , f (s), . . . , sont autant de fonctions inverses de la transcendante £.

Les relations qui existent entre ces fonctions inverses conjuguées , et qui facilitent singulièrement l’étude de leurs propriétés, permcllraient de les exprimer toutes à l’aide d’une seule; mais le plus souvent cette élimination fait disparaître toute symétrie, et complique les calculs en introduisant, par exemple, de nombreux radicaux dont les signes sont ambigus. D’ailleurs , dans toute étude spéciale, quand la géométrie attribue une égale importance à

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plusieurs lignes, si, par un choix nécessairemeiu arbitraire, on remplace leur ensemble par uiic seule d’entre elles , on perd toujours en clarté , en précision , en richesse de déductions, plus qu’on ne peut gagner à cette simplification qui n’est réellement qu’apparente.

Terminons cette première leçon parmi rapprochement trop important pour être omis. Dans la théorie de l’attraction des sphéroïdes, on appelle potentiel la fonction

V = ^ — J m étant la masse d’une particule pondérable,

V la distance qui la sépare du point matériel qu’elle attire,

et la sommet, s’étendant à toutes les particules qui peuvent

agir sur le même point. Lorsque cette fonction V est connue, les composantes (X, Y, Z), dirigées suivant les axes coordonnés, de la résultante des attractions exercées sur le point matériel de masse p, sont respectivement égales à

Or on vérifie aisément que le potentiel V satisfait toujours à l’équation (i), ou que l’on a A, V = O. De là résulte que les surfaces sur lesquelles la ^nouvelle fonction V conserve une même valeur numérique, et que l’on appelle surfaces de niveau, sont identiques avec les surfaces isothermes; le potentiel n’étant autre que le paramètre thermométrique multiplié par un facteur constant. Ainsi ce que nous dirons sur les surfaces isothermes et les paramètres thermométriques sera applicable aux surfaces de niveau et aux potentiels; il n’y aura que les dénominations à changer. Mais , tout en indiquant cette généralisation, restreignons-nous désormais aux surfaces isothermes.

Sl’R LES FONCTIONS INVERSES, ETC.