DÉTERMINATION DE EA PÉRIODE

Une propriété connue de l’hyperbole conduit à la valeur numérique de la période ^q. Construi.sons sur le plan des bases des cylindres une des hyperboles Tiomofocales avec .ses asymptotes, et, en outre, le cercle de rayon i dont le centre est à i’origine; désignons par o) l’arc de ce «îen le compris entre son intersection avec l’axe des Y, et son point do rencontre avec l’une des asymptotes. On sait qu’en abaissant de ce dei'nier point une perpendiculaire sur la ligne des foyers, la longueur de cette perpendi- X'

culaire sera — ou u', et la distance de son pied au centre

sera - ou u.

Cela posé, si l’on passe à l’hyperbole infiniment voisine de la première, l’arc w augmentera de (7w, u de du, u' diminuera de dd, et l’on conclura facilement, de la similitude (par perpendicularité) du triangle infinitésimal dont les côtés sont [d^, du,-^ du') avec le triangle aux côté.s (i, u', u), que

du du' ^ u' u

Or la double tran.sc<mJante (2 bis), différentiée , donne, aussi

du du'

38 LEÇOMS

(loue dt = (iw, et, d’après la communauté d’origine, c = w. Ainsi, on jjcut prendre pour paramètre lhermométrique de la famille de cylindres hyperboliques homofocaux, l'arc w qui vient d’ètre défini, ou désigner cet arc par c.

D’apri's celte interprétation géométrir[ue , l’extrémité mobile de l’arc w ou t détermine une dits asymptotes de rhyperbole (jui sert de base au cylindre dont le paramètre therinométrique <?st e; or, «juand e croît continuellement, et dans le meme sens, l’extrémité mobile revient aux mêmes points à chaque révolution : doue , quand s augmente de 2 ?r, l’asymptote, l’iiyperbole, et les fonctions inverses, redevieuueut les mêmes. Ainsi, la période 4 <7 n’est autre que 2 7t.

îj XXX.