INTRODUCTION DES IMAGINAIRES

Au premier procédé que nous venons de décrire, et qui permet de passer d’un groupe de fonctions inverses à un autre par une transformation réelle, il faudrait en joindre un second remplissant le même but à l’aide d’une transformation par imaginaires. Mais, au lieu de définir ici ce non-

4‘-i LEÇONS

veau j)imécl6 , nous jn éférons iiuliijucr cominent les imaginaires s’inlroduisent naturellement dans l’étude des surfaces isolliermcs et de leurs foiielions inverses.

Supposons un élève qu’ou aurait initié aux mathématiques, au calcul différentiel, au calcul intégral, sans lui parler de trigonométrie, de lignes trigonométriques , de transcendantes d’aucune espèce. Qu’on lui présente la lliéoric des surfaces isothermes dans l’ordre que nous avons suivi, en appuyant sur la nécessité d’exprimer les paramètres géométriques des surfaces considérées et reconnues isothermes eu fonction du paramètre ihermumétrique. Il rencontrera d’ahord la fonction inverse e‘, dont il établira et étudiera le développement

par les méthodes actuellement usitées dans l’algèbre. On lui fera remarquer que ce développement se compose d«r deux parties, l’une paire., raulre impaire.

Abordant les cylindres elliptiques isothermes, il reconnaîtra tlans les valeurs X = cE (s), V — . cC (s) , ou dans les fonctions inverses de cette famille les deux parties détachées lie e*. Prenant ensuite les lyliudres hyperboliques isothermes, il trouvera d’autres fonctions inverses F (e) =

.r (£) = —; mais, sachant qu’on passe de toutes les pro-

priétés de l'ellipse à celles de riiyperludc, par le simjvle < hangcment de X'' en — X *, ou de X' en X' \/ — 1 , il recon-

SLH les FONCTIÜ^S INVEnSES, ETC. 43

iiailra ([ue F (e) et rf(s) ne diffcrcnl de F. (s) et i.’ (e) qu’eu ce ([lie £* y est changé eu — e', d’où il conclura

ou

Il cüu.slalcra la périodicité nécessaire et réelle de ces nouvelles fonctions, et apprendra leur signification trigonométrique cos £, sin e, en partant des méthodes exposées aux

§§ 27,28 et 29.