DÉTERMINATION DE LA FONCTION F
La fonction la plus simple qui satisfasse aux quatre eondi lions réunies est
xJb^ — y'Jc'‘ — r'±ry^A’ — x ’ — x’
(9) " = = ïv— ’
ou bien, désignant, pour simplifier, par n le produit des deux radicaux eiijr» par K relui des deux radicaux eu x,
{g bis)
bc
X7i± jri è’c* — .r’r‘
Il s’agit de prouver que cette fonction ii est précisément z.
Pour cela, posant i> = s/ h* — «' = — h*, la sub-
stitution de U (9) donne
. c’ — x^ y b’’ — y"‘':ç.xy\j c' — x’ \/c’ — y‘
(to)
b‘‘<Jc' — x’ \jb'‘ — x^yb‘‘ — y‘
[Ce que l’on vérifie sans peine : car, si l’on fait la somme des carrés de 11 (9) et t'(io), les doubles signes disparaîtront au second membre, et : ^ — —rr V sera facteur
commun de ,
+ x»)[c’(ii> — x’) -f- x’(c’ — /’)] j,
Stn LES FO^CTIONS IKVEUSES, ETC. 5l
exprossioii (jui se réduit à donc
et de môme u* + te’ = c®.] Le produit vu>, ou celui-ci
— u’ V^c* — m’, que nous a >pclIcrons IJ, peut sc mettre sous la forme
f.li .T- t - ('■' » V [ c’ {!•'- =^') (f - 7 ’^ H- b’
Cela posé, clieicbons la dérivée en .r de u (9 iis) , observant que ^ c* — (&’ -|- c’) x* -+- a:* donne
\(iï,= — x(i’-(-c* — 2x’), on trouve d’abord
du ,
ry-
+2y’(x’ndzxyt)
et l'on reconnaît aisément que cette valeur, multipliée par Ç, reproduit précisément U (n) ; ainsi ^ Écri-
vons U (g b/s) de cette manière
U = dt lie
y^±xt h’ e’ — x’y’
avant de prendre sa dérivée en^; cette nouvelle valeur de U sera le produit par ± i de ce que devient la première quand on y ebange x enj^, et réciproquement^^ en x; on aura donc (puisque U est symétrique en xet y) immédiadu
tement -^ = ± — dy n
Réunissant les deux diflérentielles partielles de «, on a pour sa dilfércntielle totale
d’où l’on déduit
du — — dx^ ~ dy, Ç >l
du dx I dy
"ïï “ T “ T'
Multiplianl par c, ayaiil égaid aux valeuis lospeclives de U, >; en tt, x, j, et observant que u s'annule quand x et J sont zéro l'un et l’autre, rinlégration donnera
on a done
H = 2 = A (atd:: (5), vz=\lb‘‘ — z‘, — z’-y
et la fonction F est maintenant connue.
■ I ^ — TT = a ± S,
§ xu.
