XLVI

CLASSEMENT DE PUOPlUÉTÉS.

Par tout ce qui précède, le pseudosinus A(e), le pseudocosinus B (e), et le pseudorayou C(s), nous paraissent au , moins aussi complètement déduis que les fonctions trigonométriques sine et cose. Il ne leur manque qu’un plus long usage ou des applications plus nombreuses ; les progrès incessants des malbématiques ne tarderont pas à combler cette lacune.

Mais tout n’est pas dit sur les fonctions A, B, C; nous n’avons signalé que celles de leurs propriétés qui correspondeut toutes aux propriétés de sine et de cose; l’inlroduclion des imaginaires, et la liaison de ces fonctions inverses a^ec eelles qui appartiennent aux deux autres familles de surfaces isolbermes (des byperboloïdes à une nappe et des ellipsoïdes) , nous conduiront à une seconde classe de propriétés tout aussi étendue que la première.

Pour connaître les propriétés spéciales des deux autres groupes de fonctions inverses (A,, B,, C,) et (Aj, Bj, Cj), on pourrait appliquer directement, à chacun d’eux, la méthode d’étude du § 23 , comme nous l’avons fait au groupe (A, B, C). Puis, après trois études partielles, et ^cn quelque sorte indépendantes, on chercherait les relations qui existent entre les trois groupes, et qui sont d’une grande importance dans la iliéorie que nous développons , car ce sont ces relations mômes qui recèlent toute la sc-

' SfU LES K0NCT10>S INVEBSES, ETC. 5y

coude clas.se de propriétés ci-dessus annoncée. Celte niarclie serait la plus naturelle et la plus lucide; elle aurait Incontestablement l’avantage de n’établir aucune différence de rang, aucun privilège, aucun droit d’aînesse entre trois groupes dont l’importance est parfaitement égale. Mais cette marche serait beaucoup trop longue, comparée à celle que nous adoptons, cl qui consiste à poser, dès l’abord, et en quelque sorte synlliétiquemcnl,.une partie des relations à découvi'ir, afin de déduire, par le procédé du § 112, les deux groupes (A,, B,, C,) et (A., Bj, Cj) du groupe (A, B, C) déjà traité. Contentons-nous de dire, pour rétablir l’égalité troublée, que nous eussions pu commencer par traiter directement tout autre des trois groupes.

Il importe de remarquer (pie les fonctions {A, B, C),

étudiées dans cette leçon, se modifient singulièrement quand

le rapport l approche de l’une ou de l’autre de ses limites ,

zéro et runité. Nous verrous qu’à la limite de A = o, les

tractions — — sont exactement sine et eose, taudis

([ue C(e) devient constant et égal à l’unité; ce t[ui justifie les analogies signalées et les dénominations employées dans les derniers paragraphes, où l’on suppose que A ait une valeur moyenne. Mais, à l’autre limite , à celle de A= i, les fonctions (A, B, C) semblent changer brusquement de

nature, car A(e) devient ow hypolangt, tandis ijue

B (s) et C(e) sont identi(|ues et égales à rrr-:> ou à hjposéct^

§ 17. On ne saurait imaginer une métamorphose plus, complète.

Celle mutabilité, qui s’étend aux trois groupes, explique les difficultés qu’on rencontre, lorsqu’on cherche à représenter les transcendantes elliptiques et leurs fonctions inverses par des ares de courbe et des lignes droites, à la manière de

6o LEÇONS

la traiiscendanle circulaire cl dos fondions irigonoméliiques. Il faut adiucltre, en quelque sorte, aulunl de systèmes représentatifs distincts qu’il existe de valeurs de k ;

ceux de ces systèmes qui répondent àA=o,A = i,A = ^ï

sont connus et sont très-différents. Dans la théorie qui nous occupe, CCS difficultés sont écartées : les trois variétés des transcendantes elliptiques de première espèce expriment la température , dans les trois familles de surfaces isothernies du second ordre, lesquelles sont homofocales 5 'et si l’on ' prend jiour unité de longueur la demi-distance focale principale, les fonctions inverses des transcendantes sont les axes mêmes des surfaces isothermes. Cette représentation, à la fois physique et géométrique , est simple , générale et naturelle. En comparaison, tonte autre paraît compliquée, partielle ou factice.

by Gp’OgIc