SYSTÈME CONJUGUÉ
Le système triple de surl'accs isothermes défini au § 36 est particularisé par la valeur de la ligne cou-
stantc b , ou par celle du rapport A = -• 11 existe autant de
systèmes semblables que de valeurs du rapport A, comprises entre zéro et Tunité. Mais tous ces systèmes sont conjugués deux à deux; au système correspondant à £ et A se trouve conjugué celui dans lequel b est remplacé par
fc'= “ P®*" b' = ^ = y/ 1 — A*, et réciproque-
ment A' par A. Dans les transformations qui vont suivre, il sera nécessaire de considérer ce système conjugué en même lemj>s que le premier; nous le désignerons en accentuant les paramètres géométriques et les fonctions inverses qui lui appartiennent.
Par exemple , à la famille des byperboloïdcs isothermes à deux nappes, particulièrement étudiée dans la leçon pré-
62 leçons '
ccdciitc, appartienl le tableau suivant :
\Jb‘—d v/c’— V*
< = ck(t), y/A’ — v’= cB(«), v'=: cC(«),
JT* s’
et la famille des liypcrboloïdes à deux nappes du système conjugué sera représentée par le nouveau tableau .
C' dv' r’’’ d-j'
I r — ; ^ — - ra'=c /
Jo y/6'>./Vr’— v" Jo y/é"— v'Vc’— •/>
•/=cA'(s), yV>- v'=,cB'(£), v'c^’’^’=cC'(i),
A'f— ' ,g\ R'/rt' X ^
Les fonctions inverses A', B', C ont identiquement les mêmes propriétés que A , B, C; il n’y a d’autre différcncc que dans la grandeur de la période, qui est 4 cjpour A, B, anr pour C, et ^ts' pour A’, B’, ans’ pour C’. Les dernières lignes des deux tableaux précédents reproduisent les formules (i3) du § 42, donnant les fonctions inverses du complément de s, qui est (t3 — s) au premier tableau, 'et (es' — s) au second.
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SUn lES FONCTIONS INVERSES, ETC. 63
§ XLVllI.
THANSKOUMATION DES (A,, U,, C,) EN (A', B', C).
La famille des liyperboloïdes isollicmics à une nappe au paraïuèlre géométrique fx, étant représentée par le tableau
e=c I , - —7^ ; Bi,=c I T— .
Jb Vf*’ — 6’ yc’ — fl’ J b y fl’ — b^^c‘‘ — fi’
(3) fi = cA,(s), Vfi’ — A’=cB,(s), y/e’ — fi’=cC,(i),
ÂTïï)'^Bf(r)~c;'(T)“"’“"’
on obtient les fonctions inverses A,, B,, C, à l’aide des fonctions A', B', C', du système conjugué, par la transformation suivante. Posant
{4)fi = V^c’ — •/’, d'où y^a’ — 6’= y è'’ — •/’, y/c’ — fi’=v', on eu déduit d’abord
y^fi’ — d’ y^c’ — ji’ — y^ 6'’ — •/’, f/fi — —
dp
dv'
y/fi’ — 6’ y/c’ — p’ y/ 6'’ — ■/’
puis, par l’intégration et par une double détermination de la constante introduite g,
car, d’après les relations (4) : i” quand p = c, v' est zéro, la seconde intégrale (5) s’évanouit, la première devient cr, , donc g=zrsi \ 2 ” quand i>- = h, v' est égal à b', la première intégrale (5) s’annule, la seconde devient a', donc ^ = cf'. Ainsi les deux intégrales définies et, et et' sont
«'•gales entre elles , c’esl-à-ilire «[Uc l’on a
(5 bis)
J-‘ y'c’— li»
D’après cela, la première intégrale (5) étant e, la seconde sera (et' — e) , et on aura actuellement
■j'=cA.'{ts'—’.), v'*'’— •>' — cB'(n'— s), Vc^T'‘>=cC'(o'— e).
Ces valeurs, jointes à la seconde ligne du tableau (3), transforment les relations (4) dans les suivantes:
et, d’après les dernières formules du tableau (a), on a aussi
(6 bis) A,(e)=,
équations ([ui expriment directement les fonctions A,, B,, Cl à l’aide des A', B', C'.
