XLIX

TKAN'SFOKMATION UES (A„ B,, C.) EN (A, B, C).

J^a famille des ellipsoïdes isothermes, au paramètre géométrique /S, étant représentée par le tableau

rfp f”

Je \!f — è’ \/p’ — c' Je

(■j) p = cA,(e), v^p'— è’=rcB,(£), v'p'— c*z= cC,(î),

on obtient les fonctions inverses Ai, Bj, C, à l’aide des

SUR I.ES FOÎdCTIORS IWERSES, ETC. 65

fondions A , H, (’. par la Iransl'ormation suivante: ]>osanl (S) (Voii \/f— b^= b — ^ '' 1 y/p’ — r’ = <■ ^ ,

on eu déduit d’abord

y/pî— y/p’— c’ = ^y/è» — v’ v'c» — v% rfpr=— ic

jiuis, par l'inlégralion, et par une double détermination de la constante introduite g’,

g' = n,= CT;

car, d’après les valeurs (8) : i° quand p = oo , v est zéro , la seconde intégrale (9) s’évanouit, la première devient cr, , doncgf = Uj; 2” quand p = c, v devient égal à la première intégrale (9) s’annule, la seconde devient o, donc g = U. Ainsi les deux intégrales définies w, et ttr sont égales entre elles, c’est-à-dire ((ue l’on a

(9 bis) aj — cf

Je y/p’

~rs.

D’après cela, la première intégrale (9) étant s, la seconde sera (ra — s), et l’on aura aciuclleraeut

v = cA(ct — î}, v'è’ — v’=cB(ct — j), y/c* — v’ = cC(ra — s).

Ces valeurs, jointes à la seconde ligne du tableau (7), transforment les relations (8) dans les suivantes ;

(lo) A,(j)z=

C (o — t) A(nr — s)

B (u — î) A (cj — e)’

et, d’après les dernières formules du tableau (i), on a

LEÇÜXS

aussi

(loto) = = C,(0=

équalioiis qui expriment directement les fonrtions (A„I5„C,) en (A,15,C).

PROrUIÉTfcS DES (A,, B,, C,.)

Les relations (6 bis) conduisent aux propriétés et à la déiinition des fonctions inverses A,, Bi, C|, ou des axes de l’hyperboloïdc isothenne à une nappe. En cfTct , si l’on passe des formules du § A2, qui eoncerneiu les fonctions A , B, C, h leurs conjuguées en A', B', C', on déduira de ces dernières, et par les relations (6 bis), le tableau

n', 2 ta', 3 a', 4

l A,(±î) = A.(«), A,(î + 2ct') = A,(2),

(iito) I B, (± s).= ±B,(Ot B,(s+4”')=B,(s),

( C, (±0 = C, (t), C, (£+4ta')=C. (0-

D’où l’on déduit les conséquences suivantes : la fonction B, est impaire; les fonctions C| et A, sont paires. Ces trois fonctions sont périodiques; la période étant 4 ®' pour Bi et Cl, ao' pour A,. Par leurs variations de signes et de grandeur, les fonctions B, et C, se conduisent respectivement comme les fonctions A et B, ou A' et B'; B, est donc un pseudosinus, C, un pseudocosinus. La fonction A, qui

et les formules

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ii’esl jamais nulle, et qui oscille piitre le minimum A et le maximum i , est un pseudorayou comme C ou C/; avec cette différcnco t[ue A, arrive à son maximum quand atteint son minimum, et réciproquemeni.