DI'F.IMTION ET EXEMPLE

l.e.s neuf fondions (A,, B,, C,), jointes à leurs eoujuguées (A; Bj Ci ), forment six groupes , contenant chacun trois fondions inverses d’une même famille de surfaces isothermes. Nous avous vu comment, à l’aide d’uue transformation réelle, on pouvait passer d’uu des six groupes à un autre, convenablement choisi. Il s’agit maintenant de rechercher si le même genre de passage peut aussi s’opérer à l’aide d’une transformation imaginaire. Un exemple, pris dans le système des surfaces isothermes de révolution, définira ce nouveau procédé.

On sait que les fondions invc;rses appartenant aux hyperholoïdes de révolution à une nappe sont

57— Bscce, HtangE.

Or si l’on change, dans ces fondions, s en e y/ — i, on a identi(juement

I I t (s \/ — i) , sin E

K (e v'~i) ~ "’S'’ E (e y/^i) ~ on

n séc ( E v’ — ' ) = séc t, H lang ( s — > ) = ^ • i

^6 Ll■;^:o^s

et SCC c, laiig £, sont les fondions inverses îles ellipsoirlcs [>lanél aires , aux({uelles on est ainsi passé, à l’aidu d’nne transformation imaginaire.

§ JAllI.

MtTHOÜl-; DE UECIIEUCIIE.

On observera <[ue, dans cet exemple, la fonction paire H séc (e V — * ) a produit dircctemciil la fonction paire sec c, et que la fonction inq)aire 11 tang(s \J — i) ii’a donné la fonction impaire taiige qu’avec y' — « pour eoefficienl. Cette remarque, toute simple qu’elle soit, est la clef, ou le point de départ de la recherche qu’il s’agit de faire. En efl’et, s’il est possible de passer d’un des six groupes du système général à un second, par le changement de s en s y — i , la fonction impaire du premier groupe doit donner la fraction impaire du second, avec y — t pour coefficient; c’est-.à-dire que si F et G sont ces deux fonctions imjiaircs, on devra avoir

(') e(ev^)= V — 1

11 est d’abord évident que, F étant une fonction impaire (juelconijnc, le résultat du changement de sa variable s en £ s / — 1 donnera toujours le produit de — i par une fonction impaire Ci de £ ; mais pour (|ue, F étant une fonction inverse, G en soit une autre, il faut certainement une condition. C’est cette condition qu’il faut trouver.

CUNDITION D'ENK TH ANSEOUM ATION IMADINAIUE.

Uappelons la liaison d'une fonction inverse impaha! avec sa variable. Les é([ualions (6) du § Î17 donnent, pour les

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sin i.i;s Fiiivr.TioN.s invfrsfs, ftc. 77

('onclidiis impaires A , 15, , (ij.

^ <!\ f/IÎ, dC

' ‘ ~ BC ~ C, A, “ A,n,'

Si, à l’aide des relations (5) du même paragraphe, on sulislilno les valeurs de 15 et C en A , de C, et A, eu 13, , de Aj et I5j en C,, les fractions

\//î> — A’ v' I — A’ — h’ + 1! ; \/x '■ -t- c; Vi+cf

seront respectivement les dillerentielles des variables dont A, 13, , C. sont les fonctions inverses; et les fractions

dC.

exprimeront resjieeti veinent les différentielles des variables ayant A', 13',, C', pour font tions iiuerses. Désignons gé-

néralement les six frai-lions ( 2 ) et (i3) par

.‘n.(-îy)'

, le déno-

minateur svnibolii|ue indiquant le pioduit de deux radicaux en -**, dont la forme diffère a\cc

Cela posé, F et G étant deux des six fonctions A , 15, , C* , A', 15',, C', , on a, par bypotbesc, réejuation ( 1 ), ou simplement F = G.y^ — I. Or, la sariable de F étant s y — i,

la différentielle d.t — i de celle variable sera ; la

variable de G étant s, la dilïérciiiicllc d.t de celte variable sera ; et, puisque c/. £ y — 1 = V-^ — t r/.£, on

doit donc avoir

Telle est la condition nécessaire pour que le cbangement

dCr

de £ en — i li'aiisl’orineja fonclioii impaire d’im des six groupes, dans le produit par \/ — 1 delà fonction impaire d’un autre groupe.