PÉRIODES IMAGINAIRES. DOUBLE PÉRIODICITÉ

Ces formules (5) et (5 bis) établissent facilement la double périodicité des neuf fonctions inverses (A,-, B,-, C,); car, puisque chacune d’elles a une période réelle, il résulte dey

b',(^v'IT 7 )= b(e), B'(ev^)= B,(i), B.(es/’37)= B' (5), A, (s),

8o l.EÇO^S

liaisons préi-t’ilcnles ijii'cllo a aussi une période imaginaire. Kii clli-t, prenons parliculièrciucnl la foneliou A,; on sait tléjà <pi'elle ne cliange pas cpiand on augmcnle la variable de 2 /ct'. / éiaiu un nombre entier (jueb'oiujue ; mais dans la formule C' (£ — 1 ) = A,(s), prise au tableau (5 , le

premier membre ne rbangera pas non plus, (juandon rcmjdarera sa variable e v — i par s y/ — i — 4/t5, / étant encore un entier fjuelronque, ou par (e -h 4/fa — i,

c’est-à-dire <[uand on ajoutera 4/fa y’ — i à e; le second jiicmbre A, (e) de la môme formule devant jouir de la même ])ropriété, il s’ensuit que la fonction A, ne change pas quand on ajoute 4/fa V — i à sa variable. On a donc, en réunissant les deux ad<litions périodiques,

A,(î -H sm'-t- 4yfav'— I ) = A,(s).

Les autres fonctions inverses , considérées suceessivcrnent, en ayant égard aux diflérences des périodes réelles, signalées aux §§ 43, 50, 51, conduisent à des conséquences analogues, et l’on a le tableau

/A (î -t- 4 / ra -t- 2 ,/ci' y/— I ) = ,V( ■),

C ( î 2. /ra -f 4yfa' V^-^) = ('.(î); .

A, (s -I- 2 (ra'-t- 4y ra y — i ) =

Ri ( 6 -t- 4 t ni'-f- 4y cj y^ — I j — Ri js),

C, (i ■+ 4'f^'-i- fîy'^ V'-— ' ) = f-il' );

c, (s -I- ?.(CT -i- 4y®' y^— ' ) = Ci( 0’

SUR LF.S FO.NCÏIONS INVERSES, ETC. 8l

qui résume à la fois la double périodicité des neuf fonctions (A,-, B,, C.) et les variations que subissent leurs périodes, quand on passe d’une fonction à une autre. On aura un tableau semblable pour les fonctions conjuguées (Aî, B’ , Cî), en changeant cr en cj', et réciproquement. F.n résumé, les dix-huit fonctions du système général ont chacune une période réelle et une période imaginaire ; et toutes les périodes ne dépendent que des nombres cr et u'.