TRANSFORMATIONS COMPLÉMENTAIRES

L’introduction de certains compléments , différents d’un groupe à l’autre, conduit à d’autres formules de transformation qu’il importe de connaître. Rappelons les équations (6) du § 48, qui donnent en y joignant leurs conjuguées ,

, . I A.(s)=C'K-î), B.(E)=B'(n'-£), C,(c)=A'(o'-e), • (A'|(s)=C(ei — ^), B',(e)=B(CT — s), C, (s)=:A (ct — s).

Dans la dernière de ces formules, changeons e en e \/ — i , A (ct — £ y / — 1 ) sera égal à C, (e ^ — i), qui, d’après le tableau (5), est égal à A, (s); en outre, on peut écrire A(ct — e — 1 ) sous la forme

A [— \/^{s -b CI V^)].

ou, A étant une fonction impaire, sous celle-ci — A [( e -f- CI sj — 1 ) y/— I ] ,

et, d’après le tableau (5), cette dernière expression est

égale à -t== C', (e H- o y/ — i). On a ainsi la première ligne y/— I

(lu groiipe suivant :

les autres lignes résultant (les mêmes transformations et dç rapprochements semblables. ,

Le groupe (8) conduit au tableau que voici ;

I A (ci — ( y/ — 1 ) = A| ( e) ,

B (ci — £ ^ — 1 ) = ^ — t Bi (e ) ,

A,(cj' v^— I — s j = A, (e v^— I ) , ■:

B,(ci'y/— I — e) = — B,(e y/— I ),

C, (o’y'* — I — e) — t/ — t Ci(ev i);

A!(ci + o’^ — I — e)=:A(:),

Bj ( CI + ^ — I — £ ^ y/ I h ^ E ) J

La premiitre case était écrite. Pour la seconde, on remplace l’équation A’, ye-Hciy/ — i^inclustî au groupe ( 8 ) , par sa conjuguée A ,( ra' y/ — i -(-£)= A , (e t /— 1 ) , puis on change le signe de £; et les autres formules de la même case s’obtiennent de la même manière. La troisième case SC déduit des deux autres ; car .si , dans la première formule de la seconde case , on ( hatigc s en £ — üj , • A, (tr-l-rj' y/^ — c')sera égala A, [(e — ta) y(^ ], (jui ,

Sl’^l LES FONCTIONS INVERSES, ETC.

d’après la première case, csl égal à A jci — \J — i [(e — ra) \/ — i ] j, ou à A (î) ; et les deux autres formules réstdteut de la même opération,

A l’aide des tableaux (6) et (9), aussi Importants l’un que l’autre, on détermine toutes les valeurs réelles et imaginaires de la variable, qui rendent une quelconque des neuf fonctions (A,-, H,-, C,), ou nulle, ou infinie.