LXV
MÜLTIPLICAÏIOX DES TRANSCENDANTES.
Désignons par F une quelconque des neuf fonctions inverses, et représentons les formules qui la concernent aux tableaux (10) et (ii) par les suivantes :
(12) F(lr-t- l'p I ) = O, F(jr-|-J'pv/ — i) = x;
/'étant égal à (J, p à u', si F appartient à l’un des groupes (A, B, C) ou (Al, Bi, Cl); et inversement, r étant égal à u', P à CT, si F appartient au groupe (A,, B,, C,); les quatre nombres entiers 1, F, J, J', ayant chacun, suivant le cas, l’une des quatre formes 2;», 2p -i- i, 4 P > 4 P ^ •
11 s’agil cU; résoudre le problème sulvaut ; ayant posé F(0 = x, F(«e) = X,
où n est un nombre entier, on so propose de déterminer X en fonction de x. 11 résulte des formules ( 12 ) que, pour toutes les valeurs de x comprises dans l’équation
X sera nul; et qu’il sera infini pour toutes les valeurs de a: que comprend l’équation
D’après le tableau (6), le nombre des valeurs distinctes de X, données par chacune des équations (i3) et (i4)j en y faisant varier les éutiers 1, 1', J', J, est limité ; il ne saurait surpasser
On jKJUt conclure de là que X s’exprimera eu x, par une fraction , dont le numérateur sera le produit de tous les facteurs distincts de la forme
et le dénominateur le produit de tous les facteurs distincts de la forme
Jr-t- J'p
cette fraction étant multipliée par un coefficient constant. On aura donc, en employant une notation connue.
(^Ir-f-Fpv/ — l\
( Jr4 - J'pV—
SUR LES FONCTIOAS IR VERSES, ETC. Sj*
la conslaiitc M pouvant ône lU'lerniinée, à l’aldc d’une valeur particulière de e , à laquelle correspondent des valeurs connues et rouvenablcs de x = 1’ (e), et de
X==F(ue).
§ LXVl.
DÉCOUVEUTE l) ABEL.
Telle est la solution générale du problème de la multiplication des tianseendautes ellipli<|ucs. Telle est aussi la véritable découverte d’Abel, comprenant à la fois la double périodicité, ou le tableau (6), les tableaux (lo) et (ii), ou les séries des valeurs de la variable qui annulent et rendent infinies les fonctions étudiées ; enfin , la formule (t5), qui était le but principal. Restreindre celte découverte h sa première partie, comme ou le fait souvent, c’est uiécounaitre son importance cl sa grandeur.
Kn clfcl, la véritable question que se proposait Abel, c’était le problème de la multiplication des transcendantes elliptiques, dans toute sa généralité. Les cas parliculieis qu’on en connaissait, indiquaient la forme algébrique et fractionnaire de la solution. Il s’agissait donc de composer le nuiuéraleur et le dénominateur de celle fraclioq. Pour cela, il fallait chercher et trouver les séries des valeurs de la transcendante, annulant et rendant infinies les fonctions inverses. Et pour obtenir ces séries complètes^ il était indispensable d’établir la double périodicité. Telle a été la marche analytique de la découverte dont il s’agit.
Les formules établies dans celle leçon ont prouvé, de la manière la plus directe, que les fonctions (A,, B,, C,) sont doublement périodiques, et peuvent toutes servir à résoudre le problème de la multiplication des transcendantes. Les mêmes formules signalent en outre plusieurs dillé-
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rences caracléristicfuos entre les neuf foneiions inveises. Voici les principales.
Si l’on appelle collectivement quadrant les nombres et, cî', cr — I, cr' y/ — i, on peut dire que le tableau ( 6 ) emploie deux sortes de périodes, les unes à deux quadrants, les autres à quatre. On remarque alors que, pour tout lî,, la période réelle et la période Imaginaire sont à quatre quadrants, tandis que, pour chaque A, ou C, , l’une des périodes est à deux quadrants, l’autre h quatre.
Abstraction faite des indices et de l’accent, les transformations imaginaires des tableaux (5) et (5 bis) changent les A en C et réciproquement les C en A, tandis que les B sont 'conservés. Cette loi s’observe aussi pour les transformations complémentaires réelles [q), A ce groupe de transformations réciproques, on peut opposer celui des transformations complémentaires imaginaires du tableau ( 9 ), lesquelles sont directes, car dans toutes les A, B, C sont conservés; ce qui devait être, puisqu’on obtient chacune des formules ( 9 ) à l’aide de deux transformations réciproques, faites successivement, comme l’indique le tableau ( 8 ).
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SUR LES FOCTIÜWS 1 ^VEUSES, ETC.
