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années. Il faut donc, si l'on veut que la rotation ait pu se maintenir sensiblement uniforme, que le processus de refroidissement et de production des anneaux ait été excessivement lent.

H ïPOTIli;SES COSMOGO.MOLES

26. Cette faiblesse de l'induence du tVoltement, quand il s'agit de grands volumes fluides, nous conduit à reclierclier s'il ne serait pas possible d'abandonner l'iiypollièse d'une rotation uniforme de la nébuleuse, et à étudier les diverses hypothèses que l'on pourrait faire sur la distribution des vitesses angulaires. Cette question présente beaucoup d'analogie avec le problème suivant : Quelle sera, dans une atmosphère (par exemple l'atmosphère terrestre), la distribution stationnaire des températures ? On pourrait dire, d'une part, que si la température initiale de l'atmosphère n'est pas uniforme, elle le deviendra bientôt par suite de la conductibilité : l'état d'équilibre des températures de l'atmosphère serait donc l'état isotherme. On pourrait penser, d'autre part, supposant la conductibilité négligeable, que les mouvements internes de l'atmosphère et les brassages qui s'y produisent finiront par déterminer, pour les températures, l'état d'équilibre dit adiabaliqiie .

L'observation montre que dans les couches les plus basses de l'atmosphère, jusqu'à lo kilomètres environ, on suit la loi adiabatique parce que ces couches sont brassées constamment par les grandes perturbations et les cyclones. Plus haut, on retrouve la loi isothermique ; plus haut encore, on ne sait rien. Quoique ni l'un ni l'autre

des deux états ne soit cfTccliNement réalisé par ratmos[)hèrc, nous pouvons essayer d'étendre ces considérations à la distribution des rotations dans une masse fluide tournant autour d'un axe de révolution x'x [fifj. 7). Décomposons par la pensée la masse fluide en une infinité d'anneaux très déliés, tels que AA', tournant indépendamment autour de x'x. Chaque anneau possédera une vitesse angulaire oj, et

ANALTSE DE l'iI YPOTUÈSE DE LVPL.VCE 3»

celle vilesse w vaiieia d'un anneau à l'autie. Si nous admettons qu'il y ait froltcuient des divers anneaux les uns sur les autres, il y aura tendance à l'uniformisation des vitesses angulaires, et o) deviendra bieiilùl le même pour toute la masse qui. finalemenl, louiiieia d'une seule [lièce. Cetclal final correspond à l'équilibre i^ulliermc de l'almosphcre dont nous venons de [)arler, le rroltemcnl jouant ici le rôle quc^ jouait plus haut la c iiiductibililé thermique.

Su|)posons au contraire que, le frottement étant négligeable, notre masse fluide soit le siège de brassages intérieiirs, (ces brassages étant supposés conserver, pour simplifier, la symétrie de révoluùon de noire masse aiilour de x'x). Dans ce cas le moment de rotation de chaque anneau demeurera constant ; et, si on ap[)elle R la distance de chaijuc molécide à l'axe de rotation, l'état permanent de di^lribulion des vitesses angulaires sera défini par l'équation

wR- = const.

Cet étal (que nous pourrons encore appeler adiabaliquc) est analogue à l'équilibre adiabalique des températures : chaque anneau emportant avec lui, dans son (lé[)lacemont, son moment de rotation, comme tout à l'heure chaque particule de l'atmosphère conservait la même quantité de chaleur.

Remarquons que, dans celle distribution adiabalique des rotations, on aurait oj = x sur l'axe de rotation. Cet état n'est donc qu'un élat limite idéal, doiil on pourra s'a[)[)rocher plus ou moins; il correspond au cas d'un tourbillon recliligne dirigé suivant l'axe.

27. Etudions les conditions d'équilibre d'une telle masse fluide tournant d'un mouvement permanent autour d'un axe de révolution ox {Ji'j. 7), la vilesse angulaire oj n'étant plus constante, mais variant d'un anneau A.V à l'autre. Xous reprenons les équations (3) de l'hydrodynamique dans lesquelles nous faisons y = o, car dorénavant nous négligerons le frottement. Les trois premières équations (3) deviennent alors les équations bien connues d'EuLEu. Chaque molécule tournant, par hypothèse, autour de ox avec une vitesse angulaire o), nous devons faire

U ^ o, l' = — - lùZ, W = (OJ,

32 HYPOTHÈSES COSMOGOMQLES

et les trois premières équations (3) deviennent

dp I dl)

dx p dx

dP I dp

dy p dy

dP I dp

'dï '^ pdz "

Dans le cas d'isotliermie, p et p sont reliés par la loi de Mauiotte ; dans le cas d'adiabatic ils sont reliés par une autre formule ; mais, dans les deux cas, /) est fonction de ^ et

'^P = du

est une différentielle exacte. Multipliant les équations (4) respectivement par dx, dy, dz et ajoutant les résultats obtenus, nous trouvons

dP + du = i.'>~{ydy -\- zdz),

qui s'écrit

(5) (i(P+ ll) = a)2iyR,

en appelant

R = /Tm^

la distance d'un point à l'axe de révolution.

Le premier membre de l'équation (5) étant une différentielle exacte, il en est de même du second; donc fjj ne doit dépendre que de R et nous pouvons poser

io2R = o\l\) ;

l'équation (5) s'écrit alors

ce qui nous donne l'intégrale

P H- n — ç =: const.

Les surfaces d'égale pression, qu'on peut encore appeler surfaces de niveau, s'obtiendront en donnant à FI une valeur constante; elles auront donc pour équation

ANVI.YSE DE l.'ll YPOTIIKSE DE LAPLACE 33

Dans riiypolhèsc d'un noyau très condensé de masse M, nous pouvons écrire

ce qui donne pour éfpi.ilion dos surfaces d'égale pression

Les méridiennes de ces surfaces s'obliendronl en faisant z ^ o dans cette équation, ce qui donne

Telle est donc l'équation des méridiennes des surfaces de niveau lorsque la vitesse angulaire o) n'est [)lus constante, mais varie avec la dislance à l'axe de révolution suivant la loi représentée par

28. La forme de ces méridiennes dépend essentiellement de la lonction 's. Dans le cas adopté par Laplace et par Rociii:, oj est constant; alors

?sous retombons sur l'équation

qui a donné les courbes représentées parla figure 2 (p. 16).

Si nous supposions que la distribution des vitesses angulaires suit la loi adiabatique, nous aurions, Q. étant une constante, les équations

L'équation des méridiennes serait alors

PûINCARÉ.

lIÏPOTHtSES COSMOGÛMQUES

ce qui donnerait les combes représentées par la figure 8, Les surfaces de niveau auraient donc des formes toutes différentes ne se prêtant pas à la formation d'anneaux.

Remarquons que, dans le cas de la figure 2, si l'on parcourt l'axe oy depuis 0 jusqu'à l'inlini, la constante C commence par décroître, puis elle passe [)ar un minimum au point double A et croit ensuite

Jhj. 8.

indéfiniment. Au contraire, dans le cas de la figure (S, la constante G part de — ce , passe par un maximum au point A, et ensuite décroît. Donc, lorsque la quantité

passera par un minimum, quand y varie de o à + 00, les méridiennes présenteront un point double et il y aura formation d'anneaux de Laplace. Lorsque cette quantité passera par un maximum, les méridiennes affecteront une forme analogue à celle de la ligure 8, incompatible avec la production d'anneaux.

Dans les deux cas, qu'il y ait maximum ou minimum, la dérivée première de la quantité (6) s'annulera au point correspondant :

ce qui s'écrit

AXM.ïSE i>E l'iiypotiiksi-: de L\rL.»CE 35

•donc en ce point la force ccnlrifuge fait équilibre à la pesanteur. Mais il n"v aura minimum, t-t par suite l'ormalion possible d'anneaux, que >i la dérivée seconde est positive, c esl-à-dire si

•ce qui s ecriljCn rcni[)i.'i(;ant ,j par son égal oj-,

'Cette condition cx[)rime simplement que l'expression

croît avec }'. Cette condition n'est pas réalisée dans la distribution .dite adiabatique des vitesses, puisqu'alors on a

tov"^ = const.

Nous voyons donc que, pour expliquer la formation des anneaux -de Laplace, il est absolument nécessaire de supposer qu'on est très loin de l'adiabatie, et qu'on se ra[)proclic d'une rotation uniforme de la nébuleuse.