V. — Étude de la stabilité d'un anneau. Anneaux de Saturne
29. Quoi qu'il en soit des discussions précédentes, supposons qu'un anneau ait été formé et examinons les conditions de sa stabilité.
La question a été principalement étudiée pour la constitution et la stabilité des anneaux de Saturne. On peut faire sur la constitution de ces anneaux trois liypolbèses : ils sont solides, ou fluides, ou formés d'astéroïdes indépendants très nombreux circulant autour de la planète. ÎSous allons voir qu'il faut rejeter les deux premières bypothèses pour des raisons mécaniques. La troisième bypollièse, proposée déjà par Cassim en lyiô, mais sans preuves à l'appui, semble confirmée par l'expérience : l'anneau intérieur de Saturne est en elVet transparent et la lumière le traverse sans trace de réfraction; ce n'est donc pas un milieu continu. Les observations spectroscopiques montrent, de plus, "que la vitesse d'une molécule de l'anneau n'est pas la même sur le bord interne que sur le bord externe.
30 inroTiiKSES cosmogomques
30. Travaux de Lapla.ce et de IIir>. — Laplage, supposant les anneaux de Saturne solides, a fait remarquer que, si ces anneaux étaient parfaitement réguliers, ils seraient nécessairement instables, car un anneau solide régulier, sous l'influence du plus faible déplacement provoqué par la cause la plus légère, tendrait à tomber sur la surface de la planète.
Supposons, en eff'et, que le centre de Saturne soit en o, le centre de l'anneau déplacé étant en C {Jig. 9). Soit ab la corde perpendiculaire en 0 à oC. 11 est clair que l'altraclion de la planète sur un aie tel que mit, l'emporte sur son attraction sur un arc tel que m'n'.
Donc le segment amnb de l'anneau est plus attiré par Saturne que le segment an'm'b. L'anneau tendra par conséquent à s'excentrer davantage et à se joindre à Saturne. Donc un anneau solide ne peut être stable que s'il est suffisamment irrégulier.
ILux s'est demandé, d'autre part ('), dans l'bypotbèse d'anneaux solides, quelle résistance on devrait attribuer à ces anneaux pour qu'ils ne soient pas brisés par l'attraction des satellites. Il est arrivé à cette conclusion : aucun corps connu, si rigide ou si tenace qu'on le suppose, ne saurait résister, sans se rompre, aux ellorts qu'il aurait à supporter.
31. Calculs de Maxwell. — J. Clerk Maxwell avait aussi trouvé que les anneaux de Saturne ne pouvaient être solides, car leur stabilité exigerait alors des irrégularités si grandes qu'elles sont inadmissibles. Il examine donc l'hypothèse qui (ad des anneaux de Saturne une multitude d'astéroïdes indépendants : il les assimile à des cordons de perles disposées circulairement autour de la planète et
(M IIihn : Mémoire, sur les conditions d'ôijuilibre cl sur la nature probable des cnneaux de Saturne, iS-^i.
ANALYSE DE l'hYPOTIIK-E DE F. VPL\<:E $7
alïectccs de vagues régulièies, soit dans le sens du rayon, soit dans le sens transversal ; chaque perle est un petit satellite. Puis il cherche les conditions pour que l'amplitude de ces vagues, nées des perturbations, ne croisse pas indéfiniment, ^oici les grandes lignes de l'analyse de ^IA\^^EI,l. (').
32. i*icnons d'abord p satellites IV i^. •••' 1*/-. Je même masse v.M (M désignant la masse de Saturne), équidislanls sur un même cercle
J]çj. lO.
de rayon a concentrique à Saturne {fuj. lo). La distance 2 5 de deux satellites voisins sur ce cercle est une constante :
Ln mouvement possible est celui où chaque satellite parcourrait le cercle avec une même vitesse angulaire 'a déterminée par l'attraction de la planète à laquelle s'ajoute la force centrale due à l'attraction de tous les autres satellites. Appelions ce moxwcxnenl moiwc ment normal, et cherchons un mouvement plan peu dillcrent de celui-là. Désignons par
le rayon vecteur du satellite P,, et par
l',- = 2 tO + 0)1 H- 7,-
[* ] Maxwell : On Ihe staOility of ihe molion of Satuni's rings. Cambridge, iSijQ. Maxwell' s Scienli[ic Papers, t. I, p. 288-376. Voir aussi Tisseuand : Traité de Mécanique Céleste, t. II, (lliap. xii; et II. Poincauk : Figures d'équilibre d'une masse jluide, Chap. viii Paris, (laulhier-Villars, 1900 ,
38 HVPOTIIKSES COSMDGONIQUES
son angle polaire. Dans le mouvement normal non troublé, on aurait
et dans un mouvement peu dilTérent, o, et 7, seront petits; nous négligerons leurs carrés et produits.
Écrivons, en coordonnées polaires, les équations de mouvement de l'un quelconque des satellites, par exemple da satellite \\ :
\ W~'''\dl! ~ r|+ dr, ' ^^^ '' d^Vj dv, dr, i JK,
'■' di' + ^ (// "(// ~ /•, dv, '
M désigne la masse de Saturne, et
[jiM
V^d -^ r) — 2 r^i-j (cos Vj — v^)
est le potentiel perturbateiu' dû à laltraction de tous les autres satellites sur le satellite Pi. fNous négligeons les attractions exercées sur Saturne par les satellites, attractions qui se compensent d'ailleurs presque exactement.)
Chaque satellite donne ainsi deux équations telles que les équations (i) : il Y a donc en tout 2j) équations entre les O; et les c,. Ces équations devant admettre la solution
pi = O, ff.- = G,
les termes indépendants des o, et des Ci dans ces équations se détruiront et disparaîtront d'eux-mêmes. Si, dans ces 2/) équations (i) nous ne conservons que les termes du premier ordre par rapport auv pi et aux cTm nous obtenons les équations
où nous avons désigné par
I rf(oR,) i rf[olV|
a dji '' a di,
ANALYSE DE l'iI YP< > TIIKSE DE LAPLACE Sq
les parties de
qui dépendent elTedivement des o, et des cr.. Les seconds n»end)res des équations '2 sont des fonctions linéaires des c, et des 7,, puisque nous nous en tenons aux termes du [)rouiicr ordre. Les équalrons (2) forment un système d'équations dillércnliellos linéaires à cocIVicients constants. On pourrait, suivant la méthode classique, les intéj^'rer par des exponentielles de la forme
^ p, =r ll,e>:(.
Substituant ces valeurs dans les équations (2), on aurait un ensemble de 2/) équations linéaires homogènes, entre lesquelles on éliminerait les 11, et les K,. On trouverait ainsi une équation de degré '\p en N. A chaque racine N correspondrait pour les équations (2) une solution de la forme (3). Pour que le mouvement normal soit stable, il est nécessaire que 0, et 7, restent toujours petits. Par suite, il laudrait écrire que toutes les valeurs de N ont leur partie réelle négative ou nulle. Cette méthode serait longue, aussi Mvxwkll procède-t-il indirectement. Il cherche pour les équations (2) une solution [)articulière de la forme
( Pi = A cos {t -^- 2 7îO + nt), ^^ ( cr; = B sin (a H- aytO - ni),
où A, B, n et a désignent des constantes et y un entier positif. 11 se trouve que, si l'on substitue à 0, et à 7j ces valeurs (4), les seconds membres des équations '2' prennent respectivement la forme
(o-a[ALY — BM"] cos a -h 2 7tO H- ni , lo^ajAMy -f- BN"] sin (a -+- 2-; iO + nt),
OÙ L-., M-, N-. sont trois constantes dépendant de l'entier y. La substitution des valeurs (\) dans les équations (2) conduit donc aux deux équations
S 3co-A -h 2 oMiB -i- n'-\ = w^afAL; — BM-;], ■( n'^B — o (0 /lA = wV [ÀMy -h B.\y],
^JO HYPOTIltsES COSMOGONIQUES
homogènes en A et en B et propres à déterminer n et le rapport . ,
une lois choisi l'entier y ('). Par l'éliminination de A et de B on obtient l'équation en n
(5) {n^ -f- 3 co2 io-^ixL..) (/(» + (o2aN,p (2 ^n + (o^aM.,)' = 0.
A chaque racine n de cette équation du quatrième degré correspond pour les équations (2) une solution de la forme (4)- Comme, dans ces formules (/j), y peut recevoir une série de valeurs entières (^), on conçoit la possibilité d'obtenir ainsi les intégrales générales des équations (a).
33. Remarquons que, pour une solution simple telle que la solution (4), la position et la vitesse du satellite P^à l'époque / sont les mêmes que la position et la vitesse du satellite P,i à l'époque
On peut donc dire que le mouvement se communique d'un satellite à l'autre dans le temps
n Chaque solution simple représente ainsi une onde ou vague élémentaire propageant le mouvement avec une vitesse angulaire égale à -, Le
mouvement total est la superposition des mouvements qui correspondent à plusieurs ondes élémentaires. Les ondes les plus dangereuses pour la stabilité sont les ondes courtes, c'est-à-dire celles qui correspondent aux grandes valeurs de y; pour de telles ondes, en effet, deux satellites voisins pourraient se rapprocher d'une façon sensible, et leur action mutuelle ne serait plus très petite par rapport à l'action de Saturne.
34. Pour que le mouvement normal soit stable, il faut que toutes les valeurs de n soient réelles : sinon les formules (/j) donneraient
(') Ces deux équations sont les mêmes, quel que soit 1 indice i du satellite que l'on considère.
(^) Si, par exemple, le nombre des satellites est pair, p = a*/, il sulTira de donner à Y les valeurs i, a, ..,q. yV riiacurie de ces valeurs correspondent '1 valeurs de ;i, soit en tout l\q valeurs de n. Or, pour chaque valeur de n, les formules ('1) comportent deux arbitraires (savoir a et un facteur constant). On obtient donc ainsi 85 =4/^ constantes arbitraires, comme l'exige l'intégrale générale dos équations (y).
A>ALYSE DE l'iIÏI O TIltsE DE LAPLACE 4 •
pour 0; et 7, des exponentielles en i croissant indéfiniment. Montrons tout d'abord que, si le nombre des satellites est lini, on peut prendre la masse aM de chacun d'eux, et par suite la masse totale de l'anneau, assez petite pour assurer la réalité de toutes les valeurs de n. En eiïet, le premier membre de l'équation (5) en n est de la forme
]i-[n- — W-) -t- A[JL H- IV'- Ce premier membre sera donc négatif si, a étant Irî-s petit, on attribue à n* la valeur — par exemple. Si donc on substitue à n dans le premier membre de l'équation (5) les valeurs
on trouvera que ce premier membre prend les signes
Ces quatre changements de signe prouvent que les quatre racines de l'équation (5) sont réelles. Il y a donc stabilité si [j. est suffisamment petit. Bien entendu, si w est nul il y aura instabilité, et a pourra être d'autant plus grand que w le sera lui-même : la stabilité croît avec la rotation, comme il arrive pour une toupie ou un gyroscope.
Si m = 'j.p désigne le rapport de la masse de tous les satellites à la masse de Saturne, Maxaaell a montré ainsi, qu'il laut, pour qu'il y ait stabilité, que
On voit que si le nombre p des satellites augmente indéfiniment, leur masse totale mM (c'est-à-dire la masse de l'anneau) doit tendre vers zéro ; c'est là un inconvénient de la théorie de Maxwell ; mais c'est un inconvénient artificiel, car l'hypothèse d'un grand nombre de petits satellites répartis sur une seule circonférence est trop simple. Il faudrait supposer une distribution des satellites occupant un certain volume de l'espace ; alors la difficulté signalée disparaîtrait.
35. Limi/e supérieure de la densilé d'un anneau fluide. — Maxwell étend son analyse au cas d'un anneau supposé fluide. Malheureusement, dans cette partie de son Mémoire, les raisonnements manquent parfois de rigueur et même de clarté, aussi faut-il les considérer seu-
42 HÏPOTIIKSES COSMOGONinUES
lement comme im aperçu, dont la conclusion semble néanmoins devoir être acceptée.
Décomposons l'anneau supposé fluide en un grand nombre de tranches MXM'N par des plans méridiens (y?^. Il) et assimilons chaque
f"J- TI.
tranche à un des satellites précédents P,. Il s'agit de calculer lesseconds membres des équations (2), c'est-à-dire (en elTaçant l'indice /)•
(h' ' dji ' On peut concevoir que la quantité
<I rA\)
puisse être faite égale à zéro, car elle représente (à un facteur près) letravail élémentaire du, dans un déplacement radial de la tranche, aux, inégalités de l'anneau ; or, ce travail est très petit. Calculons à présent la quantité
d{oï\)
~dT'
qui représente (à un facteur près) le travail élémentaire dû aux inégalités de l'anneau, dans un déplacement tangentiel de la tranche.
Appelons D la densité du lluidc dans le mouvement normal et D H- c?D sa densité dans le mouvement troublé. Le théorème de Poisson donne
A(R4-SR) = — /i-(D + oD),
c'est-à-dire
(5) A(oR) = -/i:r(8D).
A^\LTSE DE I.'llYPOTIlKSE DE LVI'LACE /j5-
puisque dans le mouvement normal on a
Si nous adoptons, ponr un instant, uti ave des x langent à la circonférence movenne de l'anneau, nous reconnaissons que la dérivée
est bien plu> grande que les deux autres, car c'est dans le sens des x que l'onde de condensation se propage, et nous choisissons les ondes les plus défavorables à la stabilité, c'est à^dire les plus courtes; l'onde étant très courte les variations dans le sens de la propagation, c'est-àdire dans le sens de l'axe des ./; sont très rapides; nous |)Ouvons donc écrire, au lieu de l'équation (5),
(O; 'i:g^ = -4.(îD).
La contraction a eu pour ellcl de niulli[)lier la densité de la tranche par
elle a multiplié son épaisseur par
comme sa masse totale n'a pas changé, on doit avoir
oD\ / à-
c'est-à-dire
'^ D ['~''dx) = '^
"* dx ~ D
Alors l'équation (G) donne la suivante
(Le- ax
d'où l'on tire, en intégrant,
— ^j — ■- ou — >,^ = Ix-axJ-.
ax a a-
44 HYPOTHÈSES COSMOGOMOLES
Le second membre de la seconde équation (2) est donc
nous avons vu d'ailleurs que le second membre de la première équation (2) peut être pris égal à zéro.
Si maintenant dans les équations (2) nous substituons les valeurs (4) de p et de 7, nous obtenons
( 3<o2A -h 2w/jB 4- n\\ = G,
) — n^B — 2io7iA = 4^DB;
et l'élimination de A et de B entre ces équations conduit à l'équation en II
OU
Celte équation bicarrée en n doit, s'il y a stabilité, avoir ses racines réelles, ce qui exige que
(to- — /JTiD)- — /jSttcu-D > o;
cette inégalité peut s'écrire ainsi :
M' — 5G:tDoj2 -if- i67:-D- >> o.
Nous savons déjà que la masse de l'anneau et, par suite, sa densité doivent être petites pour qu'il y ait stabilité. Négligeant donc D-, nous obtenons la condition
w^ > 56-D, d'oij nous tirons l'inégalité
qui fixe une limite supéricnir à la densité de l'anneau. Maxw cll conclut que si l'anneau était liquide sa densité ne pourrait pas surpasser 3^ de celle de la |)lancte. Ce résultat est vrai pour tm anneau de poussières cosmiques comme pour un anneau liquide : la stabilité ne peut cxi>^tcr que si la densité est suffisamment petite.
ANALYSE DE l.'llïl'OTIIl'.SE DE LAI'LVCE 45
36. Liniile iiifcricurc 'le lu dc/isiti- (11111 (inncaii fln'ulc. — Un calcul ([uc nous avons déjà fait à la fin de la Section II (p. 23), donne une limite infcrieiire pour la densité d'un anneau fluide homogène su[)posé tourner d'une seule pièce avec la vitesse angulaire oj : l'anneau n'est stable que si sa densité o satisfait à l'inégalité
Le même raisonnement nous permet même de dire que, pour une masse fluide homogène tournant autour d'un axe avec une vitesse angulaire constante o) et soumise à l'altraction mutuelle de ses molécules, aucune fi<i lire ncsl stable si l"mé(jaiilc (8) nesl pas salis/aile f \ Si, dans cette inégalité, nous prenons pour w la vitesse angulaire d'un satellite dont l'orbite coïnciderait avec l'anneau de Saturne, nous trouvons que la densité o de l'anneau doit être supérieure à -V de celle de la planète. Cette condition est incompatible avec celle de Maxwell et elle nous force à rejeter rhypothèse de la lluidité des anneaux de Saturne. Comme ces anneaux ne sont pas non plus solides, d'après Maxwef.l et d'après IIiiw, nous sommes amené à les regarder comme formés d'un grand nombre de corpuscules indépendants : le calcul de MaxwELL nous a appris qu'une telle constitution peut être stable si la masse totale de l'anneau est assez petite.
37. La limite inférieure de la densité, donnée par l'inégalité (8), a été trouvée en supposant que la vitesse angulaire o) est la même pour tout le fluide. AH'ranchissons-nous de cette hypothèse et considérons, comme dans la Section IV, une masse fluide tournant d'un mouvement permanent autour d'un axe de révolution x'x {/kj. 7, p. 3o), la vitesse angulaire o) variant d'un anneau élémentaire AA' à l'autre. Conservant les notations de la Section IV, nous avons (p. 82) la
relation
'j — n — P ^ const.
Or, la pression p est nulle à la surface et positive à l'intérieur du lluide ; donc
(*) H. PoiNCARÉ : Sur VcquiUbre (Vnne masse Jlulde animcc cVun mouvement de rolalion, i885 (Bulletin astronojnique, t. II, p. 117).
llYI'OTlll:^iES COSMOC;0>'lQtES
■présente un maximum à rinlcrieui-; par conséquent H en est de même de l'expression
Il y a donc certainement, à linléiieur de la masse iluidc, un point (ou plusieurs) où l'on a
Or, rappelons-nous que ç^ ne dépend que de la dislance
R = v/j' + ^' à l'axe de rotation ; on a
-et comme on a (^p. 32 il vient
Aç = o" + J^ ;
\'ji = 2 (.oo)'R -h 2 w- ; •d'ailleurs, le théorème de Poisson donne
L'inégalité (9} montre donc qu'il existe à l'intérieur de la masse fluide des points satisfaisant à la condition
{10) 2 w- -H 2ww'R — ZiTTO <; O.
Si nous supposions que 03 ne varie pas avec R, nous retrouverions la limite inférieure de la densité donnée par l'inégalité (S).
38. Nous pouvons même serrer davantage l'inégalité 'io\ Considérons un anneau lluide dont la méridienne est QQ' et qui tourne
QK^^Q'
JC
autour de son a\c ox {fig. 12). Nous venons de dire qu'il existe à l'intérieur du Iluidc des i)uinls A où çj — ■ P est maximum ; le lieu de
\>.Vl.YSE DE L'ilYPOTlirsr l)F, L\1'1.ACK
CCS points est ici un cercle d'axe xx cl Je laNOu oV. Uf, en un point oii c; P est maximum, on a, non seulement
mais encore
ax-
00 \ ^-df- <"•
Pour lanncaii de Saturne nous pouvons poser
P = -^' ^ et-.
- étant le potentiel dû à ratlracllon de Saturne et c?P étant le potentiel dû à Paltraction de l'anneau sur lui-mOmc. Calculons séparément les trois dérivées secondes en x, y, r de
ivu point Ade l'axe des y [fuj. 12} où 9 — P passe par un maximum. Nous trouvons qu'on a, en ce point A,
^■? — O 1-. = i"' + 2 coco 'y , ',1, = '"- '
£ et 1' sont de petites quantités positives; d'ailleurs, au point A considéré, ^l diffère peu de or (troisième loi de Kûpler), et l'on peut écrire approximativement
Il esl aisé de se rendre compte de l'erreur commise en écrivant ces
équations ; on a remplacé ~.^ par «^ ; l'équation exacte s'obtient en
écrivant
dy -ou
do d M doV
dy dy r dy ~ '^
ou
M doV
oj-y , H — T — = o.
J J- dy
do P L'erreur commise est donc de l'ordre de — ,- ; si les dimensions de la
section méridienne de l'anneau sont très petites par rapport au rayon
de l'anneau (c'est-à-dire par rapport à y ou à R) -7,- sera de l'ordre
de — : a étant l'une des dimensions de la section méridienne, il sera
J donc négligeable non seulement d'une manière absolue, mais devante,
c'est-à-dire devant • et c qui sont du même ordre que 0.
vUors les trois inégalités (11) donnent les trois suivantes
3 w- -f- 2 tooj'y -{- e -f- £' — lx~p <^ o, — £' < O.
La première et la troisième sont satisfaites d'elles-mêmes. De la seconde on lire, en remplaçant r par 11, et se rappelant que 1 et 0' sont positifs, l'inégalité
(l'î). 3 to- -H 2 w lo'R <^ 4 ■'^p.
donnant pour la densité p une limite inférieure plus précise que la limite donnée par l'inégalité (10).
Si donc la distribution des vitesses angulaires dans l'anneau est telle que le premier membre de l'inégalité (12) soit positif, il existera une limite inférieure de la densité; si, au contraire, ce premier membre est négatif il n'en existera pas : or, ce premier membre est positif ou négatif suivant que (,ylV croît ou décroît quand 11 augmente.
ANALYSE DE L inP0TIlî;5E DE LAPLACE .'ig
VI. — Rupture des anneaux de Laplace. Formation des planètes.
39. Kevenons maintenanl aux anneaux abandonnés par la nébuleuse de Lmm.ace dans le plan de son équaleur, et montrons qu'il arrivera un moment oîi ils seront nécessairement instables. Nous venons de trouver, dans la Section précédente, une limite supérieure et une limite inférieure pour la densité o d'un anneau fluide. Pour qu'il y ait stabilité on doit avoir à la fois, d'après les inégalités j) et (12),
4 ~? > -5 *'i' 4-2 0) to'U.
A l'instant où l'anneau est abandonné, sa densité est très petite, donc la première inéf^alité est vérifiée. De plus, les particules de l'anneau se mouvant selon la troisième loi de Kepler, on a
w-R^ =^ const.
et par suite, en différcntiant et en divisant par R",
la seconde inégalité est donc vérifiée aussi.
Donc l'anneau est stable au début. Mais cet état de cboses ne peut pas durer. D'abord, par suite du refroidissement, la densité p augmentera et la première inégalité pourra cesser d'être satisfaite. Ensuite, le frottement des couclies les unes sur les autres tendra, d'après Lapl\ce, à uniformiser la vitesse angulaire (,) qui deviendra constante : la dérivée fj)' devenant nulle, les deux inégalités (i3) deviennent incompatibles, et l'anneau ne peut pas subsister.
40. D'ailleurs, une cause autre que le frottement agit pour rendre <o uniforme et oï nul. Cette cause est celle qu'indique L.vplace et que nous avons déjà signalée (Gliap. I, p. lo, fig. i). A l'instant /o oii l'anneau est abandonné, la troisième loi de Kepler donne, entre la vitesse angulaire Wo d'une particule et sa distance Ro au centre, la relation
(M) • wgRg = M.
PoiHCABÉ. 4
irTPOTHliSES COSMOGOMQUES
A une époque ultérieure /, l'anneau s'est rétréci et a diminué d'épaisseur par suite du refroidissement; le moment de rotation de chaque particule étant demeuré constant, la nouvelle vitesse angulaire w et la. nouvelle distance au centre R vérifient Téqtiation
(i5) wR2 = tooR^.
Comparant l'équation (i\) à l'équation i5) il vient
(16) -=i;.vm-
L'anneau étant très mince, nous prenons pour unité son rayons moyen et nous posons
c et £p étant de petites quantités. La contraction ). étant mesurée par
le rapport 7- , on a
la vitesse angulaire o) à l'époque / est donnée par l'égalité (16) qui s'écrit
Quand la contraction aura atteint la valeur À = , , oj aura atteint, or»
le voit, une valeur constante y M .
Ce mécanisme concourt donc avec le frottement à imiformiser la vitesse de rotation de l'anneau et à la rendre constante, les particules les plus e.vternes acquérant ainsi une vilesse linéaire plus grande que les plus internes, comme le voulait Lapi, ace pour expliquer la rotation directe des planètes. Malheureusement l'anneau de\icntlra instahie avant que cet état de rotation uniforme ne soit atteint, puisque les deux inégalités (i3) seront devenues incompatibles.
A>".VLÏSE DE l'hïPOTIIKSE DE LAPLACE 5t
41. T/anneau. n'étant pins stal)le, se rompra en plusieurs parties, qui ne seront encore que des masses ga/cuses plus on moins dilVnses, décrivant chacune un cercle autour du Soleil, à la façon d'un satellite. Si toutes ces masses gazeuses étaient juste à la même dislance du- Soleil elles n'arriveraient pas à se rencontrer. Mais, si leurs distances au Soleil sont un peu diilërentes, leurs vitesses angulaires le seront aussi, et par suite lune des masses rejoindra l'autre : si la dilTérence de leurs distances au Soleil est plus petite que la somme <les ra\ons dos deux niasses, celles-ci se choqueront et se réuniront en une seule. Nous com[)renons ainsi comment les diverses masses en lesquelles s'est brisé l'anneau peuvent arriver à se réunir en une seule et à donner une planète unique.
42. Cause (le l<i rolalioii directe. — Il s'agit maintenant d'expliquer pourquoi cette planète aura en général un mouvement de rotation direct, puisque rex[)lication de Laplace est insuflisante. Considérons deux masses gazeuses M et M' provenant de la rupture de l'anneau et dont les distances au Soleil sont un peu dilTérentes {Jig- i3).
fiO- i3.
D'après la troisième loi de Kli'leu. la masse la plus éloignée M' a une vitesse moindre c[ue la plus rapprochée ^I : c'est donc M qui rejoindra M', \iendra la choquer et se coller à elle. Il semble, à première vue, que la planète résultant de ce choc aura un mouvement de rotation rétrograde, puisque ses parties internes auront des vitesses plus grandes que ses parties externes. Mais la masse gazeuse globuleuse, grossièrement ronde, résultant de la réunion de M et de M', n'est pas soustraite à toute action extérieure. Elle subit l'attraction du Soleil ; cette attraction lui fera prendre une forme allongée vers cet astre, l'attraction solaire tendant toujours à ramener son grand axe dans cette direction. Il se produira donc dans la masse des marées internes considérables accompagnées de frottements, qui tendront à rendre éixales la durée de rotation et la durée de révolution.
HYPOTIFESES COSJIOGOMOIES
Ce mécanisme ne dillère pas de celui qu'invoquait Laplace pour expliquer le fait que la Lune présente toujours à la Terre le même hémisphère (Chap. II, p. i3.)
La masse planétaire arrivera donc à présenter une durée de rotalion égale à sa durée de révolution, et à ce moment sa rotation sera devenue divecle. La condensation augmentant \yàv suite du refroidissement, celle vitesse de rotation directe tend à augmenter; mais les marées tendent à la maintenir égale à celle de révolution. Au déhut, l'influence des marées l'emportera et les deux vitesses seront égales; puis, l'influence des marées diminuant, la masse planétaire commencera à présenter une librallon; enfin, la condensation se poursuivant, l'influence des marées cessera d'être prépondérante et il y aura nne rotation directe plus rapide que la révolution (voir au Chap. YII ce que nous disons à propos de la théorie de Darayim). L'action des marées diminue, en effet, à mesure que la contraction se poursuit, car la marée sur un astre dépend de la différence entre l'attraction solaire à la surface de cet astre et l'attraction solaire en son centre ; cette différence est évidemment plus faible pour un petit astre que pour un gros.
Cette expliquation de la rotation directe de la plupart des planètes, fondée sur l'action des marées est, semble-t-il, la meilleure. Si les planètes les plus extérieures (Uranus et Neptune) ont une rotation rétrograde, c'est, sans doute, que leur très grand éloignement a rendu la marée solaire très faible et insulTisante à produire la rotation directe.
